Question

As medidas dos lados de um triângulo são x + 1,2 e x²+1e estão em progressão aritmética, de razão não nula, nessa ordem. Determine a área desse triângulo.

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Answer 1

Se estão em progressão aritmética:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

Onde:

$a_1$ é o primeiro termo

$a_n$ é o enésimo termo

$n$ é o número do termo

$r$ é a razão

Como nesta progressão há apenas três termos:

$\text{P.A.}= a_1, a_2,a_3$

Sendo:

$a_1 = x+1$

$a_2 = a_1 + r = 2$

$a_3 = a_1 + 2 \cdor r = x^2+1$

Sabendo o valor do 2° termo, podemos escrever o 1° e o 3° em função do 2°:

$a_1 = a_2 - r = 2 - r = x + 1$

Isolando r:

$r = 2 - 1 - x$

$r = 1 -x$

e:

$a_3 = a_2 + r = 2 + r = x^2 + 1$

Isolando r:

$r = x^2 + 1 - 2$

$r = x^2 - 1$

Agora, se igualarmos os r:

$r = r$

$1-x = x^2 - 1$

Chegamos a:

$x^2+x-1-1=0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Isto representa uma equação quadrática da forma: $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$. Para encontrarmos o valor de x podemos utilizar a equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = 1 e c = -2:

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}$

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}$

$x = \dfrac{-1 \pm 3}{2}$

As duas soluções são:

$x_1 = \dfrac{-1+3}{2}$

$x_1 = \dfrac{2}{2}$

$x_1 = 1$

E:

$x_2 = \dfrac{-1-3}{2}$

$x_2 = \dfrac{-4}{2}$

$x_2 = -2$

Mas, se você considerar x = 1, a progressão se tornará: 2,2,2. Ou seja, a razão seria nula. O exercício diz que a razão não pode ser nula. Então a solução seria utilizar:

$\boxed{x = -2}$

Mas, nesse caso a progressão é: -1, 2, 5. Com razão 3. Só que a medida de um dos lados é negativa, o que é bem estranho.

Mas ok, vamos lá. Sabendo a medida dos três lados do triângulo, a área pode ser calculada por:

$A = \sqrt[2]{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}$

Onde a, b e c são os três lados e p é o semi-perímetro:

$p = \dfrac{a+b+c}{2}$

$p = \dfrac{-1+2+5}{2}$

$p = \dfrac{6}{2}$

$p = 3$

Assim, a área será:

$A = \sqrt[2]{3 \cdot (3-(-1)) \cdot (3-2) \cdot (3-5)}$

$A = \sqrt[2]{3 \cdot (4) \cdot (1) \cdot (-2)}$

$A = \sqrt[2]{-24}$

$A = \sqrt[2]{-1 \cdot 6 \cdot 4}$

$A = \sqrt[2]{-1} \cdot \sqrt[2]{6} \cdot \sqrt[2]{4}$

$A = i \cdot \sqrt[2]{6} \cdot 2$

Logo:

$\boxed{A = 2 \cdot \sqrt[2]{6} \cdot i}$

Aqui a área é imaginária porque um dos lados tem medida negativa