As medidas dos lados de um triângulo são x + 1,2 e x²+1e estão em progressão aritmética, de razão não nula, nessa ordem. Determine a área desse triângulo.
Soluções para a tarefa
Se estão em progressão aritmética:
Onde:
é o primeiro termo
é o enésimo termo
é o número do termo
é a razão
Como nesta progressão há apenas três termos:
Sendo:
Sabendo o valor do 2° termo, podemos escrever o 1° e o 3° em função do 2°:
Isolando r:
e:
Isolando r:
Agora, se igualarmos os r:
Chegamos a:
Isto representa uma equação quadrática da forma: . Para encontrarmos o valor de x podemos utilizar a equação de Bhaskara:
Com a = 1, b = 1 e c = -2:
As duas soluções são:
E:
Mas, se você considerar x = 1, a progressão se tornará: 2,2,2. Ou seja, a razão seria nula. O exercício diz que a razão não pode ser nula. Então a solução seria utilizar:
Mas, nesse caso a progressão é: -1, 2, 5. Com razão 3. Só que a medida de um dos lados é negativa, o que é bem estranho.
Mas ok, vamos lá. Sabendo a medida dos três lados do triângulo, a área pode ser calculada por:
Onde a, b e c são os três lados e p é o semi-perímetro:
Assim, a área será:
Logo:
Aqui a área é imaginária porque um dos lados tem medida negativa