Question

As medidas dos lados de um triângulo retângulo são numericamente iguais aos termos de uma P.A de razão 4. Qual é a medida da hipotenusa?

Answer 1

Vamos lá. 

Se os três lados estão em PA e a razão é 4, então podemos chamar os três lados assim, veja: 

a1 = x-4
a2 = x 
a3 = x+4. <-----Veja: se o triângulo é retângulo, então o maior lado é a hipotenusa (x+4).

Conforme Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado, ou seja: 

(x+4)² = (x-4)² + x² 
x² + 8x + 16 = x² - 8x + 16 + x² 
x² + 8x + 16 = 2x² - 8x + 16 ----passando todo o 1º membro para o 2º, temos: 
0 =2x² - 8x + 16 - x² - 8x - 16 
0 = x² - 16x , ou
x² - 16x = 0 -------colocando "x" em evidência, temos: 

x*(x - 16) = 0 ------daqui você conclui que: 

x = 0 ---------> x' = 0 
x - 16 = 0 -----> x'' = 16

Veja que para x = 0 NÃO SATISFAZ, porque assim teríamos um lado igual a zero, e isso não pode. 
Assim, tomaremos a raiz igual a 16, ficando: 

1º lado = x-4 ----> 16-4 = 12 ----------> 12
2º lado = x = 16 -------------------------> 16
3º lado = x+4 = 16+4 = 20 ------------> 20

Logo, o perímetro, que é igual à soma dos três lados, será: 

12 + 16 + 20 = 48cm <------Pronto. Essa é a resposta. 

Veja que não utilizamos a informação relativa à área porque os dados de que dispúnhamos já eram suficientes para calcular os três lados sem utilizar a área do triângulo. Apenas por curiosidade, veja que a área do triãngulo é realmente 96cm². Observe: 12*16/2 = 192/2 = 96cm².

Answer 2

Se os lados estão em PA de razão 4, podemos escrever estes lados como:

x - 4             x            x + 4

Pelo Teorema de Pitágoras:

$(x+4)^2=(x-4)^2+x^2 \\ \\ x^2+8x+16=x^2-8x+16+x^2 \\ \\ x^2-16x=0 \\ \\ x(x-16)=0 \\ \\ \boxed{x=16}$

Logo a hipotenusa mede 16+4=20