Question

As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente de razão r. Se a área do triângulo for 48, calcule r.​

Answer 1

Resposta:

Primeiramente devemos achar a medida dos lados em função de r. Veja que os lados formam uma progressão aritmética crescente, ou seja, na ordem b, c, a, onde:

b=cateto menor

c=cateto maior

a=hipotenusa.

Assim, tem-se:

$a - c = r$

$a = r + c$

e

$c - b = r$

$- b = r - c$

$b = c - r$

Aplicando pitágoras, temos:

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2}$

$(r + c) ^{2} = (c - r) ^{2} + {c}^{2}$

${r}^{2} + 2rc + {c}^{2} = {c}^{2} - 2cr + {r}^{2} + {c}^{2}$

$2rc + 2cr = {c}^{2}$

$4rc = {c}^{2}$

$c = 4r$

Assim:

$a = 5r$

$c = 4r$

$b = 3r$

Lembre-se que a área de um triângulo é o produto da base pela altura dividida por 2. Com isso, temos:

$S = \frac{b.h}{2}$

$48 = \frac{4r.3r}{2}$

$6 {r}^{2} = 48$

${r}^{2} = 8$

$r = ±2 \sqrt{2}$

Como a progressão aritmética é crescente, temos que

$r = 2 \sqrt{2}$