Question

As medidas do lado, da diagonal e da superficie de um quadrado formam uma PG. Determine a razão dessa PG e as medidas do lado e do perimetro desse quadrado.

Answer 1

Seja $x$ a medida do lado deste quadrado, com $x \neq 0$. Então

a sua diagonal mede $x \sqrt{2}$

e sua superfície mede $x \cdot x=x^{2}$

Logo, temos a seguinte sequência $a_{_{n}}$:

$a_{_n}=\left(x,x \sqrt{2},x^{2}\right)$

Como a sequência acima deve ser uma P.G., devemos ter

$\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{1}} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x \sqrt{2}}=\frac{x \sqrt{2}}{x}\\ \\ x^{2} \cdot x=\left(x \sqrt{2}\right) \cdot \left(x \sqrt{2}\right)\\ \\ x^{3}=2x^{2}\\ \\ x^{3}-2x^{2}=0\\ \\ x^{2}\left(x-2\right)=0 \\ \\ x^{2}=0 \text{ ou } x-2=0 \\ \\ x=0 \text{ (n\~{a}o serve) \, \, ou\, \,} x=2 \text{ u.c.}}$

Logo, o lado mede $2 \text{ u.c.}$

O perímetro do quadrado é $4$ vezes a medida do lado. Então o perímetro é dado por

$p=4 \times 2=8 \text{ u.c.}$