Question

As médias do lados de um triângulo retângulo são numericamente iguais aos termos de uma P.A. De razão 4. Qual é a medida da hipotenusa?

Answer 1

Uma notação especial para uma P.A. de três termos é:

(x-r,x,x+r)

Onde “r” é um valor constante,chamado razão da P.A.

Se o enunciado da questão nos informou que “r=4”,substituindo temos:

(x-4,x,x+4)

Como esses três valores representam as medidas dos três lados de um triângulo retângulo,temos que “x>0” (positivo).Como o triângulo é retângulo,então é válida a relação Pitagórica (teorema de Pitágoras),que afirma que: “o quadrado do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos de seus catetos”.Com isso temos:


(Lembrando: se “x>0”, “(x+4)” é o maior lado do triângulo)

“(x+4)” é hipotenusa
“(x-4) é o menor cateto
“x” é o maior cateto

(x+4)^2=(x-4)^2+x^2
x^2+8x+16=x^2-8x+16+x^2
x^2-x^2+8x+8x+16-16=x^2
16x=x^2
x^2-16x=0
x(x-16)=0
x=0 (Absurdo!) ou x=16 u.c.

O comprimento da hipotenusa é (x+4)=16+4=20 u.c.


Para um problema de triângulo retângulo com lados em P.A.,vamos deduzir um caso geral:

Se os lados de um triângulo retângulo estão em P.A.,podemos representá-los com o auxílio da notação especial de um P.A. de três termos “(x-r,x,x+r)”,sendo “r” a razão da progressão e “x>0” (óbvio,por ser comprimento de um de seus lados).Se “x>0”,temos que (x+r) é o maior lado do triângulo retângulo,sendo portanto sua hipotenusa.Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo genérico (com lados em P.A.),temos:

(x+r)^2=x^2+(x-r)^2
x^2+2xr+r^2=x^2+x^2-2xr+r^2
x^2-x^2+2xr+2xr+r^2-r^2=x^2
4xr=x^2 (Dividindo por “x>0”)
4r=x
x=4r

Concluímos que os lados do triângulo são “3r”, “4r” e “5r”,onde “r” é a razão da P.A. em questão.

Com essa teoria,poderíamos encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo do enunciado,apenas fazendo:

Hipotenusa é “5r”
Cateto maior é “4r”
Cateto menor é “3r”

O enunciado informa que “r=4”,então a hipotenusa é:

5r=5.4=20 u.c.

(O que também resulta em 20 u.c.)




Abraçoss!