Question

As integrais duplas em coordenadas polares podem ser aplicadas para calcular volumes, como seções circulares e sólidos em revolução, sendo vastamente aplicada nas mais diversas áreas da engenharia. Para aplicar esses conceitos devemos primeiramente converter a função matemática de coordenadas cartesianas para coordenadas polares.
Calcule o valor da integral ∫_0^(π/2) ∫_0^2▒〖r^5 dr dθ〗 .

Answer 1

$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \int\limits^2_0 {r^5} \, dr\;d\theta \\\\ = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {d\theta} * \int\limits^2_0 {r^5} \, dr \\\\ = \left[\theta \right] ^{\frac{\pi}{2}}_0 * \left[ \frac{r^6}{6} \right] ^2_0\\\\ = [ \frac{\pi}{2}-0 ]*[ \frac{2^6}{6}-0 ] = \frac{16\pi}{3}$

Answer 2

O valor da integral será 16π/3.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Para calcular integrais duplas, primeiro calculamos a integral de dentro;
• Com esse resultado, calculamos o resultado da integral de fora;

Com essas informações,  temos que:

∫∫r^5 dr dθ

∫r^5 dr = r^6/6

Aplicando os limites, temos:

∫r^5 dr = 2^6/6 - 0^6/6 = 32/3

Com esse resultado, temos:

∫32/3 dθ = 32.θ/3

Aplicando os limites:

∫32/3 dθ = 32.(π/2)/3 - 32.0/3

∫32/3 dθ = 16π/3

Logo, o valor da integral é 16π/3.

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