Question

As integrais de função de uma variável podem ser utilizadas para encontrar área de regiões sob curvas
entre curvas. Com base em informações sobre o cálculo de área por meio de integrais considere a situação
Um determinada região é limitada pelas curvas
Y = x2, y = x, x = 0, x = 1.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas e integrais.

Sejam duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)\geq g(x)$. A área da região $R$ compreendida entre estas curvas neste intervalo é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Então, devemos determinar a área da região compreendida entre as curvas $y=x^2$ e $y=x$ e as retas verticais $x=0$ e $x=1$.

Primeiro, observe que as retas verticais determinam um intervalo de integração. Assim, a área da região entre as curvas a ser calculada está limitada ao intervalo $[0,~1]$.

Agora, determinamos qual função tem imagem maior neste intervalo. Facilmente, vemos que $x\geq x^2$ neste intervalo.

Assim, a área da região compreendida entre estas curvas será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^1x-x^2\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A potência $x=x^1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$ contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int x\,dx-\int x^2\,dx~\biggr|_0^1}$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^3}{3}-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{0^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$

Some as frações

$\dfrac{3-2}{2\cdot3}\\\\\\ \dfrac{1}{6}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre as curvas neste intervalo.