Question

As funções exponenciais, como y = ax, são funções crescentes, que rapidamente chegam a valores grandes de y para ainda valores baixos de x. Dada essa caraterística, elas são muito usadas para representar o crescimento exponencial, ou seja, algum sistema que cresce rapidamente com o tempo, como, por exemplo, o crescimento de microrganismos ou a quebra de átomos em uma fissão nuclear. ​​​​​​​

Suponha que você esteja estudando o crescimento de duas populações de bactérias.
Com base nessas informações, responda:

a) Qual a população inicial de cada cultura de bactéria?

b) Qual a taxa de crescimento dessas populações?

c) Qual a população em t = 10 dias para cada cultura?

d) Com base na resposta anterior, as populações seriam iguais em algum momento? Se sim, para qual t? Qual a taxa de crescimento das populações em t = 10 dias? O que você poderia dizer sobre o crescimento dessas populações?

e) Faça um gráfico da população pelo tempo até 10 dias.

Answer 1

De acordo com os conceitos de função exponencial temos as seguintes soluções:

a) $N_1=300$ e $N_2=100$;

b) $N_1'=100\cdot e^{t/3}$ e $N_2'=50\cdot e^{t/2}$;

c) $N_1\approx 8409$ e $N_2\approx 14841$;

d) Sim, irão se igualar durante o 7º dia;

e) O gráfico encontra-se na figura abaixo.

Função Exponencial

Para responder a estas questões precisamos identificar quais são os principais elementos de uma função exponencial dentro do contexto apresentado pelo enunciado.

$y=k\cdot a^x$

Onde, "k" representa o valor inicial, "a" é a base que representa crescimento ou decrescimento, "x" é o tempo em dias e "y" é a quantidade de bactérias observadas no instante "x".

Dadas as funções $N_1=300\cdot e^{t/3}$ e $N_2=100\cdot e^{t/2}$ podemos efetuar as seguintes análises:

a) A população inicial de cada cultura será dada para o valor de $t=0$ e pela propriedade de potência sabemos que "todo número elevado a zero é igual a um" teremos: $N_1=300$ e $N_2=100$.

b) As taxas de crescimento são dadas pela derivada primeira de cada uma das funções. Aplicando a regra da cadeia temos:

$N_1=300\cdot e^{t/3}\Rightarrow N_1'=300\cdot e^{t/3}\cdot \dfrac{1}{3}\Rightarrow N_1'=100\cdot e^{t/3}$

$N_2=100\cdot e^{t/2}\Rightarrow N_2'=100\cdot e^{t/2}\cdot \dfrac{1}{2}\Rightarrow N_2'=50\cdot e^{t/2}$

c) Para saber o valor da população em 10 dias, basta fazermos $t=10$.

$N_1=300\cdot e^{t/3}\Rightarrow N_1=300\cdot e^{10/3}\Rightarrow N_1\approx 8409$

$N_2=100\cdot e^{t/2}\Rightarrow N_2=100\cdot e^{10/2}\Rightarrow N_2\approx 14841$

d) Sim, as populações em algum momento podem ser iguais. E para identificar em que momento isso ocorre basta igualarmos as duas funções, isto é, fazer $N_1=N_2$.

$N_1=N_2\\\\300\cdot e^{t/3}=100\cdot e^{t/2}\\\\3=e^{t/6}\\\\\ln 3=\dfrac{t}{6}\\\\t=6\ln 3\\\\t\approx 6,6$

A quantidade de bactérias das duas populações serão iguais durante o 7º dia.

Em $t=10$ as taxas de crescimento são dadas pela derivada calculada neste ponto.

$N_1'=100\cdot e^{t/3}\\\\N_1'=100\cdot e^{10/3}\\\\N_1'\approx 2803$

$N_2'=50\cdot e^{t/2}\\\\N_2'=50\cdot e^{10/2}\\\\N_2'\approx 7421$

Podemos dizer que o crescimento da segunda população é significativamente maior que o da primeira, mesmo a primeira iniciando com uma população maior.

e) Gráfico para uma observação de 10 dias encontra-se abaixo.

Para saber mais sobre Funções Exponenciais acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/6376792

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