Question

As funções da receita marginal e custo marginal de uma empresa são Rmg(x)=3x²-72+450 e Cmg(x)=-3x²+54-195, onde a variável x representa a quantidade e a receita e o custo são representados em unidades monetárias. Determine o que se pede em cada item:
a) a função custo, sabendo que para x=1 temos custo igual a 1581;
b) a variação total do custo no intervalo 5 maior ou igual a x maior ou igual a 10;
c) o gráfico da função custo, apresentando os pontos de máximo local e mínimo local, bem como pontos de inflexão, no intervalo (0,30);
d) a função receita;
e) a receita máxima;
f) a função lucro;
g) o intervalo onde o lucro é crescente;
h) o lucro mínimo

Answer 1

Admitindo que as funções da receita marginal e custo marginal são:
$R_{mg} = 3x^2 - 72x +450\\ C_{mg} = -3x^2 + 54x -195$

a) a função custo representa a função primitiva do custo marginal, logo,
$C(x)= \int\limits { C_{mg}(x) } \, dx \\ C(x)= \int\limits { (-3x^2 + 54x -195) } \, dx \\ C(x)= -3 .\frac{x^3}{3} + 54.\frac{x^2}{2} -195x + K \\ C(x)= -x^3 + 27x^2 -195x + K$

Onde K é obtida sabendo que C(1)=1581, assim:
$C(1)= -1^3 + 27.1^2 -195.1 + K \\ 1581= -1^3 + 27.1^2 -195.1 + K \\ K = 1750$

Logo, a função custo será:
$C(x)= -x^3 + 27x^2 -195x + 1750$
b) 

$\Delta Total=|C(10)-C(5)|\\ C(10)= -10^3 + 27.10^2 -195.10 + 1750 \\ C(10)=1500\\ C(5)= -5^3 + 27.5^2 -195.5 + 1750 \\ C(5)=1325 \\ \Delta Total=|1500-1325| \\ \Delta Total=175$
c) Conferir na imagem. Os pontos A e B são pontos de inflexão, onde A é minimo local e B máximo local.

d) Sabendo que R(0)=0, teremos:

$R(x)= \int\limits { R_{mg}(x) } \, dx$
$R(x)= \int\limits { (3x^2-72x+450) } \, dx \\ R(x)= 3. \frac{x^3}{3} -72.\frac{x^2}{2}+450x + K \\ R(x)= x^3 -36x^2+450x + K$

Assim, teremos:
$R(0)=0^3 - 36.0^2 + 450.0 +K \\ 0 = 0 + K \\ K = 0$

A função receita será:
$R(x)= x^3 -36x^2+450x$

e) Na função receita não há um ponto onde a receita é máxima retorna a diminuir, ela em crescente em todo seu domínio.

f) $L(x)=R(x)-C(x) \\ L(x)=x^3 - 36x^2+450x - (-x^3+27x^2-195x+1750)\\ L(x)= 2x^3-63x^2+645x-1750$

g) O lucro é crescente a partir do ponto de mínimo, assim calculamos a derivada de L(x) e igualamos a zero:
$L'(x)=0\\ 6x^2-126x+645=0$

Encontramos as raízes que representam os pontos de inflexão.
$x_{1} = 12,15\\ x_{2} =8,84$
Veremos que o pontos onde x é 12,15 representa esse minimo, logo, no seguinte intervalo o lucro será crescente:
$x > 12,15 \\ ]12,15; \infty[$

h) O lucro mínimo encontramos na letra anterior que é quando x=12,15:
$L(12,15)=2.(12,15)^3-63.(12,15)^2+645.12,15-1750 \\ L(12,15)=373,76$

É interessante você desenhar os gráficos das funções para entender melhor também.