Question

As equações 25/x- x = 0 (com x ≠ 0) e x² - 6x + 5 = 0 têm uma raiz comum. Considerando as raízes não comuns, qual equação do 2° grau, na incógnita x, têm como raízes esses dois números?​

Answer 1

As raízes não comuns entre as duas funções são x=1 e x=-5, e a função do segundo grau que passa por esses dois pontos é a y=x^2+4x-5

Função do segundo grau

Uma função do segundo grau, na matemática, é dada na seguinte forma:

$\boxed{y=ax^2+bx+c}$

Em que a, b e c são constantes, e a deve ser diferente de zero para que haja uma equação do segundo grau, caso contrário, o caso seria de uma equação de primeiro grau.

Graficamente, uma função assim tem o formato de uma parábola, podendo ela ter sua concavidade para cima, caso a>0, ou para baixo, caso a<0.

A raiz de uma função do segundo grau é dada quando sua curva, graficamente, cruza o eixo x, ou seja, quando y=0, e para encontrar os valores de x que correspondem a estas raízes, utiliza-se a equação de Bháskara:

$\boxed{x=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}}$

Onde a, b e c são as mesmas constantes encontradas na função do segundo grau.

Na questão dada, para encontrarmos as raízes de ambas funções, temos:

• $\frac{25}{x}-x=0$
  
  Para deixá-la no formato de uma equação do segundo grau, basta manipulá-la.
  
  $\frac{25}{x}=x\\\\x^2=25$
  
  Que é uma função do segundo grau sem o termo de b.
  
  Para resolvê-la, só é preciso extrair a raiz quadrada em ambos os lados.
  
  x=5 e x=-5
  
• $x^2-6x+5=0$
  
  Para resolvê-la, utiliza-se a equação de Bháskara:
  
  $x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4*1*5} }{2*1}\\\\x=\frac{6\pm 4 }{2}\\\\x=5\ e\ x=1$
  

Temos duas raízes iguais e duas distintas. O problema pede uma equação do segundo grau que tenha como raízes os valores de x=1 e x=-5

Para isso, deve-se saber que uma equação do segundo grau tem o formato já dito:

$y=ax^2+bx+c$

Sendo que, partindo do método da soma e produto para encontrar raízes em uma função do segundo grau, tem-se

$y=x^2-Sx+P$

Onde S é a soma das raízes da função, e P o produto entre elas. Então:

S=1-5
S=-4

P=1*(-5)
P=-5

Então:

$y=x^2+4x-5$

Que é a função procurada, que passa por x=-5 e =1

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https://brainly.com.br/tarefa/6895567

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