Question

As derivadas parciais são uma extensão para o conceito das derivadas das funções de uma variável. Elas medem a variação de uma função de mais de uma variável com relação a uma de suas direções. As demais são consideradas constantes. Referente a este tema, resolva as derivadas parciais da função a seguir, apresentando todos os cálculos envolvidos. f(x,y)=sen(x+3y)-cos(2x-y)
Alguém ajuda por favor!

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\partial_xf=\cos(x+3y)+2\sin(2x-y)~|~\partial_yf=3\cos(x+3y)-\sin(2x-y)}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular as derivadas parciais da seguinte função de duas variáveis. Para isso, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função: $f(x,~y)=\sin(x+3y)-\cos(2x-y)$.

Primeiro, lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função em respeito a uma das variáveis é calculada ao considerar a outra variável como constante.
• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada da função seno é a função cosseno.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Calculemos a derivada parcial em respeito a variável $x$:

$\partial_xf=\partial_x(\sin(x+3y)-\cos(2x-y))$

Aplique a regra da soma

$\partial_xf=\partial_x(\sin(x+3y))-\partial_x(\cos(2x-y))$

Aplique a regra da cadeia

$\partial_xf=\partial_x(x+3y)\cdot \cos(x+3y)-\partial_x(2x-y)\cdot(-\sin(2x-y))$

Aplique a regra da soma

$\partial_xf=(\partial_x(x)+\partial_x(3y))\cdot \cos(x+3y)-(\partial_x(2x)-\partial_x(y))\cdot(-\sin(2x-y))$

Calcule as derivadas da potência e da constante

$\partial_xf=1\cdot \cos(x+3y)-2\cdot(-\sin(2x-y))$

Multiplique os valores

$\partial_xf=\cos(x+3y)+2\sin(2x-y)$

Então, calculemos a derivada parcial da função em respeito à variável $y$:

$\partial_yf=\partial_y(\sin(x+3y)-\cos(2x-y))$

Aplique a regra da soma

$\partial_yf=\partial_y(\sin(x+3y))-\partial_y(\cos(2x-y))$

Aplique a regra da cadeia

$\partial_yf=\partial_y(x+3y)\cdot \cos(x+3y)-\partial_y(2x-y)\cdot(-\sin(2x-y))$

Aplique a regra da soma

$\partial_yf=(\partial_y(x)+\partial_y(3y))\cdot \cos(x+3y)-(\partial_y(2x)-\partial_y(y))\cdot(-\sin(2x-y))$

Calcule as derivadas da potência e da constante

$\partial_yf=3\cdot \cos(x+3y)-(-1)\cdot(-\sin(2x-y))$

Multiplique os valores

$\partial_yf=3\cos(x+3y)-\sin(2x-y)$

Estas são as derivadas parciais de primeira ordem desta função.

Answer 2

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(x+3y)\cdot(1+0)-(-\sin(2x-y))\cdot(2\cdot1-0)\\\\\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(x+3y)+2\sin(2x-y))$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\cos(x+3y)\cdot(0+3\cdot1)-(-\sin(2x-y))\cdot(0-1)\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=3\cos(x+3y)-\sin(2x-y)$