Question

As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Se , então .
II. ( ) Se , então
III. ( ) Se , então .
IV. ( ) Se então .

Answer 1

Resposta: V, F, V, F

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

A respeito das derivadas de funções elementares, temos que:

I - V

II - F

III - V

IV - F

Definição da derivada

A definição da derivada por limites nos diz que

$f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Assim, vamos checar as derivadas pela definição das funções dadas:

Constante vezes função

Se g(x) = c·f(x), então

$g'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}\\\\g'(x) = c\cdot\lim_{n \to 0} \frac{ f(x+h)- f(x)}{h}\\\\g'(x) = c\cdot f(x)$

I é Verdadeira

Função constante

Se f(x) = c, então

$f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{c-c}{h}\\\\f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{ 0}{h}\\\\f'(x) = 0$

II é Falsa

Função monômio

Nesse caso, usaremos a expansão binomial de (x + h)ⁿ:

$(x + h)^n = \sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) x^{n-k}y^k$

Assim, se f(x) = xⁿ, n ∈ $\mathbb{R}$, então

$f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\\\f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{x^n+\left(\begin{array}{c}n&1\end{array}\right)x^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n&2\end{array}\right)x^{x-2}h^2+...+ \left(\begin{array}{c}n&n-1\end{array}\right)xh^{n-1}+h^n -x^n}{h}$

O primeiro xⁿ é cortado com o último. No resto, colocaremos o h em evidência:

$f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{\left(\begin{array}{c}n&1\end{array}\right)x^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n&2\end{array}\right)x^{x-2}h^2+...+ \left(\begin{array}{c}n&n-1\end{array}\right)xh^{n-1}+h^n}{h}\\\\f'(x) = \lim_{n \to 0} \frac{h(nx^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n&2\end{array}\right)x^{x-2}h+...+ \left(\begin{array}{c}n&n-1\end{array}\right)xh^{n-2}+h^{n-1})}{h}$

$f'(x) = \lim_{n \to 0} ~nx^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n&2\end{array}\right)x^{x-2}h+...+ \left(\begin{array}{c}n&n-1\end{array}\right)xh^{n-2}+h^{n-1}$

Aqui vemos que, exceto o primeiro termo, todos os outros estão multiplicados por h, que tende a zero. Assim, para calcular o limite, eliminamos todos esses termos:

$f'(x) = nx^{n-1}$

III é Verdadeira

Função exponencial de base a

Assim, se $f(x) = a^{g(x)}, a \in \mathbb{R}, a > 0, a\neq 1$, então

Pela regra da cadeia, sabemos que:

$f'(g(x)) = [f(g(x))]'\cdot g'(x)$

Assim, (aˣ)' pode até ser aˣ·ln(a), mas

$f'(x) = a^{g(x)}\cdot ln(a) \cdot g'(x)$

IV é Falsa

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