Question

As coordenadas polares podem auxiliar no cálculo de integrais de funções de duas variáveis quando a região de integração é do tipo circular. Suponha que para resolver determinado problema você precise primeiramente resolver a integral

em que D é a região do contida pelo círculo

Assinale a alternativa que contém o resultado correto de M:

Alternativas:

a)
0.

b)
156,25.

c)
5.

d)
125.

e)
41,67.

Answer 1

Resposta:

A = 0

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

O resultado correto de M nesta integração é zero.

A região de integração é dada pela equação x² + y² = 25 que representa um círculo de raio 5 centrado na origem, logo, os limites de integração serão -5 ≤ x ≤ 5 e -5 ≤ y ≤ 5.

O valor de M é dado pela integral abaixo:

∫∫ xy dA

Como a região de integração é o círculo completo, o resultado será zero já que a área abaixo do eixo x é considerada negativa. Para comprovar, basta calcular a integral:

$M = \int\limits^{5}_{-5} \int\limits^{5}_{-5} {xy} \, dydx\\M = \int\limits^{5}_{-5} x\dfrac{y^2}{2}|_{-5}^5 \ dx\\M = \int\limits^{5}_{-5} x\left(\dfrac{5^2}{2}-\dfrac{(-5)^2}{2}\right) \ dx\\M = \int\limits^{5}_{-5} 0 \ dx\\\\M = 0$

Resposta: A