Question

As coordenadas dos vértices de um paralelepípedo oblíquo são: O(0,0,0), A(0,0,3), B(3,9,0), C(0,9,0), D(1,2,2), E(4,2,2), F(4,11,2) e G(1,11,2). Faça a representação gráfica desse sólido em um sistema de coordenadas cartesiano e usando os conhecimentos adquiridos na disciplina de geometria analítica, determine:
a) O comprimento da diagonal CE do paralelepípedo;
b) A área da base do paralelepípedo;
c) O volume do paralelepípedo;
d) O ângulo formo entre as arestas AE e AB.

Answer 1

Resposta:

a) A diagonal CE mede √69 u.c (unidades de comprimento).

b) A área da base do paralelepípedo mede 27 u.a. (unidades de área).

c) O volume do paralelepípedo vale 54 u.v. (unidades de volume).

d) O ângulo formado pelas arestas AE e AB é θ = arc cos (2/3).

Explicação passo a passo:

Considerando as coordenadas O(0,0,0), A(3,0,0), B(3,9,0), C(0,9,0), D(1,2,2), E(4,2,2), F(4,11,2) e G(1,11,2) obtemos o paralelepípedo oblíquo da figura abaixo.

a) O comprimento da diagonal CE do paralelepípedo;

Podemos calcular o comprimento desta diagonal utilizando a distância entre dois pontos no espaço.

$d(C,E)=\sqrt{(x_E-x_C)^2+(y_E-y_C)^2+(z_E-z_C)^2}\\\\d(C,E)=\sqrt{4^2+(-7)^2+2^2}\\\\d(C,E)=\sqrt{69}$

b) A área da base do paralelepípedo;

A área pode ser obtida por geometria plana com o cálculo da área de um retângulo de largura 3 e comprimento 9.

A = 27 u.a.

Ou podemos calcular a área pelo módulo do produto vetorial entre os vetores AO e AB.

u = AO = O - A = (-3,0,0)

v = AB = B - A = (0,9,0)

$u\times v=\begin{vmatrix}i&j&k\\-3&0&0\\0&9&0\end{vmatrix}\\\\u\times v=-27k=(0,0,-27)\\\\|u\times v|=\sqrt{0^2+0^2+(-27)^2}\\|u\times v|=27 \ u.a.$

c) O volume do paralelepípedo;

Usando os conceitos de geometria espacial temos que o volume é dado por:

V = Ab . h

V = 27 . 2

V = 54 u.v.

Ou utilizando conceitos de geometria analítica temos que o volume do paralelepípedo é dado pelo módulo do produto misto entre os vetores AB, AO e AE.

w = AE = E - A = (1,2,2)

$|w.(u\times v)|=\begin{vmatrix}-3&0&0\\0&9&0\\1&2&2\end{vmatrix}=54 \ u.v$

d) O ângulo formado entre as arestas AE e AB.

Pelo produto escalar entre v e w temos:

$u\cdot v=|u|\cdot |v|\cdot \cos \theta\\\\(0,9,0)\cdot (1,2,2)=9 \cdot 3\cdot \cos \theta\\\\18 = 27\cdot \cos \theta\\\\\cos \theta = \dfrac{2}{3}\\\\\theta = \arccos \left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 48,2^{\circ}$