Question

As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade 1/((X²+2X+2)(X²+4)) = (AX+B) / (X²+3X+2) + (DX+C) / (X²+4) é válida para todo x ∈ . a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações satisfeito pelas constantes A, B, C e D. b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.

Answer 1

$\frac{1}{(x^2 + 2x + 2)(x^2+4)} = \frac{Ax + B}{x^2+2x+2} + \frac{Dx+C}{x^2+4}$ ⇔ 
⇔ 1 = (Ax+B)(x²+4) + (Dx+C)(x²+2x+2) ⇔
⇔ 1 = Ax³+4Ax +Bx²+4B+Dx³+2Dx²+2Dx+Cx²+2Cx+2C ⇔
⇔ 1 = (A+D)x³ + (B+2D+C)x²+(4A+2D+2C)x+($B+2C)

a) A              + D = 0
        B + C + 2D = 0
  4A    + 2C +2D = 0
      4B +2C         = 1


b) Resolvendo o sistema por escalonamento, encontramos:

A                  +D = 0
       B + C + 2D = 0
4A +    2C + 2D = 0
     4B+2C          = 0       ⇔

⇔ A +                      D = 0
             B +   C   + 2D = 0
                   2C  -    2D = 0
           4B + 2C            = 1                      ⇔


⇔   A +                    D = 0
              B  +  C  + 2D = 0
                    2C  -   2D = 0
                   -2C  -   8D = 1                      ⇔


⇔ A  +                      D = 0
             B  +  C  +   2D = 0
                    2C   -  2D = 0
                           - 10D = 1                     ⇔


⇔ A = 1/10
     B = 3/10
     C = -1/10
     D = -1/10