Question

As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?

Answer 1

Placa ⇒ Letra * Letra * Letra * Número * Número * Número * Número

Existem 26 letras no alfabeto e 10 algarismos {0,1,2,...,9}

Usando a contagem simples :

a)
Como é permitida a repetição, temos :

Para as letras (26 possibilidades com repetição em 3 espaços):

26 * 26 * 26 = 26³

Para os números (10 possibilidades com repetição em 4 espaços) :

Como o primeiro algarismo não pode ser 0, no primeiro espaço, há (10-1) = 9 possibilidades. Nos outros 3 espaços há 10 possibilidades normalmente.

9 * 10 * 10 * 10 = 9 * 10³ 

Logo, as possibilidades totais (T) de placas distintas são :

T = 26³ * 9 * 10³

T = 9 * (26 * 10)³ possibilidades totais de placas distintas !

b) Temos o seguinte panorama para as letras :

→ A primeira letra pode ser qualquer uma das 26;

→ A segunda letra tem que ser igual à primeira (só há uma possibilidade para isso);

→ Vou considerar que é exclusivamente o conjunto de placas que tem as duas primeiras letras iguais. Neste caso, a terceira letra não pode ser igual às duas primeiras, logo, para essa letra, há (26-1) = 25 possibilidades;

→ Para os números, a ordenação continua igual (9 * 10³);

Sendo esse conjunto de placas : "n" →

n = (26 * 1 * 25 * 9 * 10³) possibilidades de placas com as duas primeiras letras iguais !

Logo, a porcentagem pedida p = n / T, em que n são os casos com as duas primeiras letras iguais e T são os casos totais.

Sendo ⇒ n = (26 * 1 * 25 * 9 * 10³) e T = 9 * (26 * 10)³ :

p = (26 * 1 * 25 * 9 * 10³) / (9 * (26 * 10)³)

p = (26 * 1 * 25 * 9 * 10³) / (9 * 26³ * 10³) ⇒  Simplificando :

p = 25 / (26 * 26)

p = 25 / 676

p ≈ 0,037

p ≈ 3,7% ⇒ Porcentagem de placas com as duas primeiras letras iguais !