Question

As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 12 cm, e a sua base é um hexágono cujos lados medem 8 cm. A altura dessa pirâmide, e a área total em cm, é igual a:

Answer 1

Resposta:

A altura é de 8,94 cm.

A área total da pirâmide é de 437,52 cm².

Explicação passo a passo:

São vários cálculos para se obter a resposta final.

Utilizamos por convenção:

- 2 casas decimais sem arredondamentos;

- aa é o apótema da aresta lateral;

- ab é o apótema da base;

- al é a aresta lateral;

- Ab é a área da base da pirâmide;

- Af é a área de uma das faces laterais da pirâmide;

- At é a área total da pirâmide;

- h é a altura da pirâmide;

- l é a medida de um dos lados do hexágono;

- n é o número de lados da pirâmide.

1) Calculamos o apótema da aresta lateral:

(al)² = (aa)² + ($\frac{l}{2}$)²

12² = (aa)² + ($\frac{8}{2}$)²

12² = (aa)² + 4²

144 = (aa)² + 16

144 - 16 = (aa)²

[inverte-se a posição dos termos para melhor compreensão]

(aa)² = 144 - 16

(aa)² = 128

aa = $\sqrt{128}$

aa = 11,31 cm

2) Calculamos o apótema da base:

ab = $\frac{l . \sqrt{3} }{2}$

ab = $\frac{8 . \sqrt{3} }{2}$

ab = 4.$\sqrt{3}$

ab = 4 . 1,73

ab = 6,92

3) Calculamos a altura da pirâmide:

(aa)² = (ab)² + h²

(11,31)² = (6,92)² + h²

127,91 = 47,88 + h²

127,91 - 47,88 = h²

[inverte-se a posição dos termos para melhor compreensão]

h² = 127,91 - 47,88

h² = 80,03

h = $\sqrt{80,03}$

h = 8,94 cm

4) Calculamos a área de uma face lateral da pirâmide (um triângulo):

Af = $\frac{l . aa}{2}$

Af = $\frac{8 . 11,31}{2}$

Af = $\frac{90,48}{2}$

Af = 45,24 cm²

5) Calculamos a área da base da pirâmide (um hexágono):

Ab = $\frac{3 . l^{2} . \sqrt{3}}{2}$

Ab = $\frac{3 . 8^2 . \sqrt{3} }{2}$

Ab = $\frac{3 . 64 . \sqrt{3}}{2}$

Ab = 3 . 32 . $\sqrt{3}$

Ab = 96 . $\sqrt{3}$

Ab = 96 . 1,73

Ab = 166,08 cm²

6) Calculamos a área total da pirâmide:

At = n.Af + Ab

At = 6.45,24 + 166,08

At = 271,44 + 166,08

At = 437,52 cm²