Física, perguntado por andreifontoura, 10 meses atrás

As amigas Alice e Bete estão paradas em extremidades opostas de uma canoa uniforme ﬂutuando em um lago. A canoa tem 3,0 m de extensão e massa de 20,0 kg. Alice tem massa de 30,0 kg e Bete, de 40,0 kg. Inicialmente, a canoa e as duas amigas estão em repouso em relação à margem. Então Alice oferece um biscoito a Bete, e Bete caminha até a extremidade de Alice na canoa para apanhá-lo. Ignore qualquer força horizontal que a água exerça sobre a canoa e considere que nenhuma das duas amigas cai da canoa.
a) O que podemos dizer sobre o movimento do centro de massa do sistema Alice + Bete + canoa na cena narrada?
b) Em relação à margem, que distância a canoa se moveu quando Bete alcançou Alice?

Soluções para a tarefa

Respondido por juanbomfim22

a) Permanece no mesmo lugar.

b) 4/3 metros.

O que é momento linear?

Fisicamente, o momento linear (p) é definido como um vetor cujo módulo é obtido pelo produto da massa de um corpo (m) pela velocidade (v) em que ele está se movimentando.

$\boxed{\vec p = m\cdot \vec v}}$

Curiosidade: essa equação, ao ser derivada implicitamente em relação a um diferencial de tempo, nos traz uma nova fórmula bem conhecida (neste caso em uma dimensão), da segunda Lei de Newton.

$p = m \cdot v \Rightarrow \\\\ \dfrac{d p}{dt}= \dfrac{d(m \cdot \ v)}{dt}\Rightarrow\\\\\dfrac{dp}{dt}}= m.\dfrac{dv}{dt}\Rightarrow\\\\\boxed{F = m\cdot a}$

O que é centro de massa?

Por definição, em um sistema de partículas, o centro de massa é o vetor dado pela somatória dos produtos de cada do vetor posição por cada massa da partícula, dividido pela massa total do sistema. Em outras palavras,

$\boxed{\overrightarrow{cm} = \dfrac{\sum_{i=1}^n m_i\cdot \vec r_i}{M}}$

O centro de massa é o ponto imaginário onde toda a massa poderia se concentrar de modo que o sistema possa conter as mesmas condições do sistema inicial.

Como resolver a questão?

a) O centro de massa não muda de posição, para um observador na margem, pois o sistema é conservativo e o momento do sistema é igual a 0.

Como a massa do sistema é resumida no centro de massa (CM) e o momento linear é igual a 0, então nenhuma velocidade será adquirida por esse CM, uma vez que o produto de sua massa pela velocidade deve resultar em 0 (o que implica que a velocidade centro de massa deve ser 0)

p(CM) = m(CM) . v(CM)

0 = 90 . v(CM)

v(CM) = 0 m/s <nunca se move>

Portanto, não haverá deslocamento do centro de massa, para um referencial nas margens.

b) Quando Bete anda, ela aplica uma força no chão que faz ela se mover para frente. Consequentemente, como o "chão" é o barco e ele está na água, então ele também se move, mas em sentido contrário. Como não existem forças externas ao sistema, então há a conservação dos momentos lineares.

Qantes = Qdepois

O momento linear inicial é 0 para o sistema, pois a velocidade do sistema é nula.

Qantes = 0

Já o momento linear final é a soma dos momentos de Bete (B) e do Barco + Alice (BA), supondo que Bete vai à esquerda e lá para esquerda a velocidade é negativa e à direita positiva,

p(B) = -40.vB [negativo]

p(BA) = (30 + 20).v(BA) => 50.v(BA)

Assim:

0 = -40.vB + 50.v(BA) =>

4.vB = 5.v(BA) [1]

Além disso, para um observador externo, a soma do deslocamento do barco e Alice com o deslocamento de Bete deve resultar no comprimento do barco.

dBA + dB = 3,0 [2]

Perceba que podemos reescrever [1] por, ao multiplicar tudo por Δt:

4.dBA = 5d(BA) =>

dB = 5/4.d(BA) [3]

Finalmente, unindo [2] e [3]:

d(BA) + 5/4.d(BA) = 3