Question

Arquimedes (287-212 a.C.) apresentou as primeiras noções sobre o conceito de integral em seus trabalhos referentes a área de figuras planas. No Cálculo Diferencial, uma das motivações para o estudo da integral é a área sob o gráfico de alguma função e uma das formas de abordagem para o conceito de integral é aproximar a área por retângulos (e quando o comprimento desses retângulos tende a zero, a definição de integral é encontrada).


DESTCH, Denise Trevisoli. CRAVEIRO, Irene Magalhães. KATO, Lilian Akemi. SCHULZ, Rodrigo André. RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá: Unicesumar, 2020. Adaptado.

Pergunta em anexo.

É correto o que se afirma em:

Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
II e IV, apenas.

Alternativa 3:
III e IV, apenas.

Alternativa 4:
I, II e III, apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 1

Explicação passo a passo:

(V) Afirmação I, é a definição de integral de Riemann

(F) Afirmação II, para a afirmação ser verdadeira, é importante que haja uma quantidade finita de descontinuidades [algo que não foi informado], pois cada ponto tem medida nula.

(F) Afirmação III, $f$ contínua $\Longrightarrow f$ integrável, mas a recíproca é inválida. Basta tomar $f = \begin{cases}0, \text{ se } x\in[0,1/2)\\ 1, \text{ se } x\in[1/2,1]\end{cases}$, neste caso, $f$ é integrável, mas não é contínua.

(F) Afirmação IV, o teorema nos diz que $f$ integral $\iff S(f;P) - s(f;P) < \varepsilon$