Question

Armando sobe 8 degraus, sendo 1 ou 2 degraus de cada vez. O sexto degrau está quebrado, logo ele não
pode pisar neste. De quantas maneiras diferentes Armando pode chegar ao último degrau?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

Answer 1

Resposta: D

Explicação passo-a-passo:

Armando terá 9 maneiras diferentes de chegar no ultimo degrau.

Answer 2

Armando pode chegar ao último degrau de 8 maneiras diferentes (alternativa C)

A tarefa aborda conceitos estudados em Combinatória. Perguntas com os trechos: de quantas maneiras diferentes, de quantas formas, quantas são, ... caracterizam desafios relativos à essa nobre área da Matemática.

De acordo com a questão, como o 6º degrau está quebrado, são degraus possíveis para Armando pisar os de número,

1 , 2 , 3, 4, 5, 7 e 8.

A primeira coisa que se pode observar é que o degrau 5 é obrigatoriamente um degrau que ele deve pisar. Isso acontece, pois, como o sexto degrau está quebrado e ele salta no máximo dois degraus de cada vez, ele só alcança o 7º degrau a partir do 5º.

Dessa forma, podemos dividir o problema em dois subproblemas:

• De quantas formas ele alcança o 5º degrau;
• de quantas formas ele alcança o 8º degrau (último) a partir do quinto.

⇒ Para calcular de quantas formas ele alcança o 5º degrau a partir do início (pelo que entendi, degrau 0), basta observar que, não importando como se dará seus passos, ele terá que subir 5 degraus (óbvio, não?).

Sendo assim, nossa tarefa é descobrir de quantas maneiras podemos somar os números 1 e 2 (onde a ordem das parcelas importa!) com a soma dando 5. Veja alguns exemplos:

• 1 + 1 + 1 + 1 + 1  = 5   (Nesse caso, ele subiu degrau a degrau)
• 2 + 1 + 2 = 5  (Nesse caso, subiu ao degrau 2, depois 3, depois 5)
• 2 + 2 + 1 = 5 (Subiu ao degrau 2, depois 4, depois 5)
• 1 + 1 + 1 + 2 = 4 (Subiu ao degrau 1, depois 2, depois 3, depois 5)

Observe que para isso temos 3 casos:

1º caso Todas as parcelas são iguais a 1. (1 maneira)

2º caso Uma parcela é igual a 2 e outras três são iguais a 1 ($C_{1} ^{4}$ = 4 maneiras)

3º caso Duas parcelas são iguais a 2 e a outra igual a 1  ($C_{1} ^{3}$ =3 maneiras)

* $C_{p} ^{n}$ é o número de combinação simples de $n$ elementos tomados de $p$ em

Logo, ele pode alcançar o degrau 5 a partir do 1º de 1 + 4 + 3 = 8 maneiras diferentes.

⇒ Para calcular de quantas formas ele alcança o 8º degrau (último) a partir do quinto, basta observar que tem-se apenas 1 maneira: Ele sai do 5º para o 7º (degrau 6º está quebrado, lembra?) e depois sobe para o 8º.

Finalmente, usando do princípio multiplicativo:

8 $\cdot$ 1  = 8 maneiras

(C) 8

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