Question

(Aritmética – Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita)

Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que

     $1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n=2+(n-1)\cdot 2^{n+1}$

para todo $n\in\mathbb{N}^*.$​

Answer 1

Demonstração:

Verifiquemos, inicialmente, se a propriedade é válida para $n = 1$:

$1\,.\,2^1 = 2 + (1 - 1)\,.\,2^{1+1}\\\\1\,.\,2 = 2 + 0\,.\,4\\\\2 = 2$

Assim, $p(1)$ é válida.

Em seguida, admitamos, por hipótese, $p(k)$, isto é:

$1\,.\,2+2\,.\,2^2+3\,.\,2^3+...+k\,.\,2^k = 2 +(k-1)\,.\,2^{k+1}$

para algum $k$ genérico, $k \geq 1.$

Verifiquemos, por fim, se $p(k)$ implica $p(k+1):$

Tese:

$1\,.\,2+2\,.\,2^2+3\,.\,2^3+...+k\,.\,2^k + (k+1)\,.\,2^{k+1} = 2 +[(k+1)-1]\,.\,2^{(k+1)+1}$

$1\,.\,2+2\,.\,2^2+3\,.\,2^3+...+k\,.\,2^k + (k+1)\,.\,2^{k+1} = \\\\= 2 + (k-1)\,.\,2^{k+1} + (k+1)\,.\,2^{k+1}\\\\= 2 + 2^{k+1}(k-1+k+1)\\\\= 2 + 2^{k+1}(2k)\\\\= 2 + k\,.\,2^{k+2}\\\\= 2 + [(k+1)-1]\,.\,2^{(k+1)+1}$

Portanto,

$p(1);$

$p(k)$, $k \geq 1$ ⇒ $p(k+1);$

donde se infere que $p(n)$ é válida, ∀ $n$ ∈ N.

Answer 2

Caso base: $p(1)$ :

$p(1) = 2+ (1-1) \cdot 2^{1+1}\\p(1) = 2$

Hipótese de indução: supor que $p(k)$ é válido, para um $k$ inteiro $k \geq 1$, ou seja:
$1\cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k = 2 + (k-1) \cdot 2^{k+1}$

Passo indutivo: demonstrar que também é válido para $p(k+1)$, e que $p(k) \Longrightarrow p(k+1)$ :

$p(k+1) = 1\cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k + (k+1) \cdot 2^{k+1}$

Que, pela hipótese, nos permite reescrever os termos iniciais por termos de $p(k)$:

$p(k+1) = 2 + (k-1) \cdot 2^{k+1} + (k+1) \cdot 2^{k+1}\\p(k+1) = 2 + (k-1 + k + 1) \cdot 2^{k+1}\\p(k+1) = 2 + 2k \cdot 2^{k+1}\\p(k+1) = 2 + k \cdot 2^{k+2}\\p(k+1) = 2 + ((k+1) - 1) \cdot 2^{(k+1)+1}$

O que é válido.

Como a proposição é válida para $k=1$, e como dado um $k$ qualquer $k+1$ também é válido, se pode afirmar que vale para todos os naturais.