Question

(Aritmética: Números primos – divisibilidade)

Sejam $n,\,p$ números naturais. Mostre que

     se $(n+1)^p-n^p$ é primo, então $p$ é primo.​

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Dica: Use a técnica de redução ao absurdo, ou demonstre a implicação contrapositiva.​

Answer 1

Demonstraremos a seguir que se $p$ não é primo, então $(n+1)^p - n^p$ tampouco é primo.
Se $p$ é composto, então ele pode ser escrito como:
$p = mk$

Com $m$ e $k$ ambos naturais diferentes de 1. Disso se pode concluir também que:
$m \geq 2\\k \geq 2$

Então:
$(n+1)^p - n^p\\= (n+1)^{mk} - n^{mk}\\= x^k - y^k$

De acordo com o Teorema de D'Alembert, um polinômio $P(x)$ é divisível por $x-a$ sempre quando $a$ é uma das raízes do polinômio. Evidentemente, se $y=x$ então $y$ é uma das raízes:
$q(x-y) = x^k - y^k$

Como demonstrado na tarefa neste link*, $x-y = x^k - y^k$ somente quando $k\leq 1$, que, em nossa atividade, como $k \geq 2$, nos diz que $q \neq 1$. Temos também que $x-y \neq 1$, pois $(n+1)^m - n^m$, com $m\geq 2$ não pode resultar em 1, o que significa que $q(x-y)$ é composto. Logo, com $p$ composto, nunca se pode chegar a $(n+1)^p - n^p$ primo, então se esta expressão é um primo, $p$ também é primo.

* https://brainly.com.br/tarefa/53304919