Question

(Aritmética: Números primos – divisibilidade)

Seja $p$ um número natural. Mostre que

     se $3^p-2^p$ é primo, então $p$ é primo.​

Answer 1

Provando que $p$ não pode ser composto, se deduz que $p$ é primo.
Reescrevendo a expressão em questão (com $p$ composto):

$3^p - 2^p\\= 3^{mn} - 2^{mn}\\= x^n - y^n\:\:\:(i)\\\\(m, n) > 1$

De acordo com o Teorema de D'Alembert, este polinômio (i) é divisível por $x-a$ sempre quando $a$ seja uma de suas raízes. Veja que se $y=x$ então $y$ é uma raiz do polinômio, logo, podemos afirmar que

$(x-y) \mid (x^n - y^n)$

e também

$q(x-y) = x^n - y^n$

com $q$ sendo o quociente da divisão de $x^n - y^n$ por $x-y$.

$q \neq x^n - y^n$ pois, para que fosse igual, $(x-y)$ deveria ser igual a 1. Claramente não é possível, pois $3^m - 2^m$, com $m > 1$ nunca resultará em 1.

Também se pode afirmar que $q \neq 1$, pois, se fosse, a seguinte expressão seria verdadeira:

$x - y = x^n - y^n$

o que implicaria que $n \leq 1$*. Porém, na definição de $n$, foi dito que este era necessariamente maior que 1, podendo-se concluir, portanto, que $q \neq 1$ e, consequentemente, que $p$ não é composto, ou seja, é primo.

* É possível demonstrar que $x-y$ é sempre um fator de $x^n - y^n$ com outro fator diferente de $1$, com exceção de $n = 1$ (como só nos importa $n$ natural, dispensa análise do que acontece com $n < 1$). Demonstração neste link:
https://brainly.com.br/tarefa/53304919