(Aritmética: Números primos – divisibilidade)
Seja
um número natural. Mostre que
se
é primo, então
é primo.
Soluções para a tarefa
Provando que não pode ser composto, se deduz que
é primo.
Reescrevendo a expressão em questão (com composto):
De acordo com o Teorema de D'Alembert, este polinômio (i) é divisível por sempre quando
seja uma de suas raízes. Veja que se
então
é uma raiz do polinômio, logo, podemos afirmar que
e também
com sendo o quociente da divisão de
por
.
pois, para que fosse igual,
deveria ser igual a 1. Claramente não é possível, pois
, com
nunca resultará em 1.
Também se pode afirmar que , pois, se fosse, a seguinte expressão seria verdadeira:
o que implicaria que *. Porém, na definição de
, foi dito que este era necessariamente maior que 1, podendo-se concluir, portanto, que
e, consequentemente, que
não é composto, ou seja, é primo.
* É possível demonstrar que é sempre um fator de
com outro fator diferente de
, com exceção de
(como só nos importa
natural, dispensa análise do que acontece com
). Demonstração neste link:
https://brainly.com.br/tarefa/53304919