Question

(Aritmética: Números naturais – Números primos – Divisibilidade)

Seja $p\in\mathbb{N}$ um número primo. Considere as sequência dos números naturais

     $a(n)=6(35n+29)+5$

     $b(n)=30(7n+1)+1$

com $n\in\mathbb{N}.$ Mostre que

a) se $p\mid a(n),$ então $p\ge 11.$

b) se $p\mid b(n),$ então $p\ge 11.$​

Answer 1

a)

$a(n) = 6(35n + 29) + 5\\a(n) = 210n + 174 + 5\\a(n) = 210n + 179$

$210n$ sempre será par, portanto ao ser acrescido de um ímpar o resultado será ímpar.

$210n$ é múltiplo de 3, porém deixará de ser ao ser acrescido de $179$.

De mesmo modo se conclui que $a(n)$ não é múltiplo de 5 e tampouco de 7.

Logo, se algum primo divide $a(n)$, ele não é 2, 3, 5 nem 7, portanto deve ser maior ou igual a 11.

b)

$b(n) = 30(7n+1)+1\\b(n) = 210n + 30 + 1\\b(n) = 210n + 31$

$210n$ é múltiplo de 2, 3, 5 e 7, mas 31 não é múltiplo de nenhum destes, portanto, se algum $p$ primo divide $b(n)$, este não é 2, 3, 5 e 7, logo, tem que ser maior ou igual a 11.