Question

(Aritmética: Números naturais – Números primos – divisibilidade – congruência modular – Pequeno Teorema de Fermat)

a) Mostre que

     $18\mid (6n+5)^3-(6n-1)^3$

para todo $n\in\mathbb{N}.$

b) Indique para quais valores de $n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,10\},$ o número

     $\dfrac{(6n+5)^3-(6n-1)^3}{18}$

é primo.

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Obs.: Não é necessário demonstrar a primalidade de cada primo encontrado na alínea b), basta explicar que tais números são primos pois só têm dois divisores naturais distintos.​

Answer 1

a) Usando o Princípio da Indução Finita

Caso base $n = 1$ :
$(6n + 5)^3 - (6n - 1) ^3\\= (6+5)^3 - (6 - 1)^3\\= 11^3 - 5^3\\= 1331 - 125\\= 1206\\= 18 \cdot 67\\18 \mid 18 \cdot 67$

A proposição $p(1)$ é válida.

Hipótese de indução: supor que dado um $n$ qualquer natural, a seguinte proposição é válida:
$18 \mid(6n + 5)^3 - (6n - 1) ^3$

Inclusive, aproveito para extendê-la agora e deixar mais claro o posterior passo indutivo:
$(6n + 5)^3 - (6n - 1) ^3\\= (216n^3 +540n^2 + 450n + 125) - (216n^3 - 108n^2 + 18n - 1)\\= 648n^2 + 432n + 126$

Passo indutivo: demonstrar que a validade da proposição com $n$ implica na validade da proposição com $n+1$ ( $p(n) \Longrightarrow p(n+1)$ ):

$(6(n+1) + 5)^3 - (6(n+1) - 1) ^3\\= (6n + 11)^3 - (6n + 5)^3\\= (216n^3 + 1188n^2 + 2178n + 1331) - (216n^3 +540n^2 + 450n + 125)\\= 648n^2 + 1178n + 1206\\=(648n^2 + 746n+ 126) +432n + 1080$

Conforme a hipótese de indução, $18 \mid 648n^2 + 432n + 126$, portanto reescreverei essa porção como $18x$:

$=18x +432n + 1080\\= 18(x + 24n +60)\\18 \mid 18(x + 24n +60)$

Como a proposição é válida para o elemento mínimo dos naturais, e como $p(n) \Longrightarrow p(n+1)$, logo é válida $\forall n \in \mathbb{N}$.

b) Para o resultado da divisão ser primo, o denominador da fração deve poder ser escrito como o produto de 18 e somente um fator primo.

Conforme visto anteriormente, temos que o denominador é

$648n^2 + 432n + 126 = 18(36n^2 + 24n + 7)$

Portanto $36n^2 + 24n + 7$ deve ser primo. Testemos os valores de 1 a 10:

$36 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 + 7 = 67^*\\36 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 + 7 = 199^*\\36 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 + 7 = 403 = 13 \cdot 31\\36 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 + 7 = 679 = 7 \cdot 97\\36 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 + 7 = 1027 = 13 \cdot 79\\36 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 + 7 = 1447^*\\36 \cdot 7^2 + 24 \cdot 7 + 7 = 1939 = 7 \cdot 277\\36 \cdot 8^2 + 24 \cdot 8 + 7 = 2503^*\\36 \cdot 9^2 + 24 \cdot 9 + 7 = 3139 = 43 \cdot 73\\36 \cdot 10^2 + 24 \cdot 10 + 7 = 3847^*$

Os valores marcados são primos, ou seja, com $n \in \{1,2,6,8,10\}$