(Aritmética: Congruência modular)
Mostre que a equação x² ≡ 86 (mod 100) não possui soluções inteiras para x, isto é, não existe inteiro que ao ser elevado ao quadrado resulte em um número cujos dois últimos algarismos são 86.
Soluções para a tarefa
Os últimos dois algarismos do número serão dados pelo produto yz², sendo y e z ALGARISMOS que compõem o número final. Ou seja, um número cujo penúltimo algarismo é y e último algarismo é z "resulta" (ou deveria resultar) em 86. Desse modo:
y z
* y z
uyz uzz
uyz
dzz
Essa "entidade" acima é uma precária representação de yz². uzz significa que as UNIDADES do produto zz ficarão nessa posição. De mesmo modo, acontece com uyz. Já dzz são simplesmente as dezenas do produto zz. Veja, então, que:
uzz = 6
2(uyz) + dzz = 8
Para que as unidades de zz sejam 6, z deve ser 4 ou 6. Logo, dzz é 1 ou 3 (derivado de 16 ou 36). Então:
2(uyz) + (1 ou 3) = 8
O que significa que 2(uyz) é ímpar, e, consequentemente, que uyz é a metade de um ímpar (número racional). Como uyz surgiu do produto de dois números naturais, este não pode ser racional, portanto não há valor de x que cumpra os requisitos solicitados.
Sinto muito pela deselegante """demonstração""", realmente não estava inspirado.