Question

Araceli tem 20 moedas na carteira. Algumas são 10 centavos, outras 20 centavos e o resto 50 centavos. Se a quantidade total de dinheiro que ela tem em sua carteira é 500 centavos e ela tem mais moedas de 50 centavos do que moedas de 10 centavos, quantas moedas de 20 centavos ela tem?

A) 14 B) 15 C) 11 D) 12 E) 10

Answer 1

Araceli tem 14 moedas de 20 centavos.

Alternativa A.

Sistema de equações

Representamos por x, y e z as quantidades de moedas de 10 centavos, 20 centavos e 50 centavos, respectivamente.

Como há um total de 20 moedas, temos:

x + y + z = 20

Como há um total de 500 centavos na carteira, temos:

10x + 20y + 50z = 500

Sistema de equações:

{10x + 20y + 50z = 500

{x + y + z = 20

Multiplicando a segunda equação por (-10), temos:

{10x + 20y + 50z = 500

{-10x - 10y - 10z = -200

Somando:

  {10x + 20y + 50z = 500

+ {-10x - 10y - 10z = -200

              10y + 40z = 300

                  y + 4z = 30 => y = 30 - 4z

4z = 30 - y

As possibilidades para o valor de y são 14, 15, 11, 12 e 10.

Como z deve ser um número inteiro (pois é a quantidade de moedas), o resultado de (30 - y) deve ser um múltiplo de 4. Logo, as possibilidades para y são 14 e 10.

Para y = 14, temos:

4z = 30 - 14

4z = 16

z = 16/4

z = 4

Para y = 10, temos:

4z = 30 - 10

4z = 20

z = 20/4

z = 5

x + y + z = 20

x + (30 - 4z) + z = 20

x + 30 - 3z = 20

x - 3z = 20 - 30

x - 3z = - 10

Quando z = 4, temos:

x - 3.4 = - 10

x - 12 = - 10

x = - 10 + 12

x = 2

Quando z = 5, temos:

x - 3.5 = - 10

x - 15 = - 10

x = - 10 + 15

x = 5

O enunciado diz que há mais moedas de 50 centavos do que de 10 centavos, ou seja, z é maior que x. Portanto, a única opção é x = 2 e z = 4.

Isso ocorre para y = 14.