Question

apresente o passo a passo para a construção do gráfico da função abaixo.

f(x) =x³ - 4x² + 12x + 2​

Answer 1

$f'(x)=3x^2-8x+12$

para saber se a função é crescente temos que analisar

$f'(x)>0$

como

$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4.3.12=-80<0 \ e \ a=3>0$

então

$f'(x)>0 \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$

portanto a função é sempre crescente.

nos infinitos:

$\lim_{x \to \infty} x ^3-4x^2+12x+2= \lim_{x \to \infty} x ^3.(1+\frac{-4}{x} +\frac{12}{x^2}+\frac{2}{x^3} ) =\infty$

$\lim_{x \to-\infty} x ^3-4x^2+12x+2= \lim_{x \to- \infty} x ^3.(1+\frac{-4}{x} +\frac{12}{x^2}+\frac{2}{x^3} ) =-\infty$

vamos ver as concavidades:

$f''(x)=6x-8$

concavidade para cima se inflexão se f''(x)=0 , f''(x)>0 e para baixo se f''(x)<0

$6x-8=0\\\\x=\frac{4}{3}$

entao x=4/3 é ponto de inflexão, f''(x)>4/3 tem concavidade para cima e f''(x)<4/3 tem concavidade para baixo.

Sobre as raízes:

gastando todas possibilidades de raízes racionais:

$p_i=(-2,-1,1,2) \\\\q_j=(-1,1)$

$\frac{p_i}{q_j} \ sao \ todas \ candidatas \ a \ raizes \ racionais$

Entretanto nenhuma delas satisfaz a f(x)=0 então as raízes são todas irracionais ou 2 complexas e 1 irracional. Entretanto com a informação que temos sabemos que a f(x) só corta o gráfico uma vez, esse fato e o teorema fundamental da álgebra sabemos que: são 2 raízes complexas e 1 irracional. Para esboçar o gráfico aproximado não existe a necessidade de encontrar a raiz. Mas se for muito preciso aconselho calculo numérico usando método de Newton-Raphson. Ou usar algo que nunca usei e não é costumeiro, usar as relações de Girard onde você terá 3 equações e 3 incógnitas. Acredito que são relações gerais(valem para os complexos?), mas nunca testei.

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\\\x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a} \\\\x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}$

Outro método que você pode usar, mas ninguém usa é o método de Cardano-Tartaglia esse encontra todas as raízes do terceiro grau direto:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

${\displaystyle p={c \over a}-{b^{2} \over 3a^{2}}}$

${\displaystyle q={d \over a}-{bc \over 3a^{2}}+{2b^{3} \over 27a^{3}}}$

${\displaystyle x_{1}=-{b \over 3a}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

${\displaystyle x_{2}=-{b \over 3a}+\left({\frac {-1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left({\frac {-1}{2}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

${\displaystyle x_{3}=-{b \over 3a}+\left({\frac {-1}{2}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left({\frac {-1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$Viu pq ninguém usa?