Question

Após um levantamento de dados, ambientalistas de uma ONG (Organização Não Governamental), constataram, em uma cidade próxima ao Rio Canoas, no estado de Santa Catarina, a existência de três indústrias: I, II, III. Cada indústria participa com 44%, 33% e 23%, respectivamente, da produção industrial da cidade. A proporção de gases poluentes lançados na atmosfera é de 3% pela indústria I, 1% pela indústria II e 2% pela indústria III. Uma análise da emissão de gases poluentes ou de partículas sólidas na atmosfera é realizada ao acaso nesta cidade, o que permitiu aos ambientalistas verificar a existência de poluição atmosférica. Com base nas informações responda


A) Qual a probabilidade dos gases considerados poluentes terem sidos lançados pela indústria I? Apresente os cálculos necessários para concluir o resultado encontrado.

B) Descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado na letra A.

Answer 1

Cara, não sei exatamente usar essas fórmulas que você passou, mas acredito que a ideia é a seguinte:

a)
Quantidade de poluente gerado, frente à emissão atmosférica de cada indústria:
Pol I = 44% * 3% = 1,32%
Pol II = 33% * 1% = 0,33%
Pol III = 23% * 2% = 0,46%

Quantidade de poluentes totais em relação ao total de emissões:
Qpol = 1,32% + 0,33% + 0,46% = 2,11%

Probabilidade de que os gases poluentes registrados pelo medidores dos ambientalistas terem sidos produzidos pela Indústria I:

Prob I = Pol I / Qpol = 1,32% / 2,11% = 0,6256 = 62,56%

b) Partindo do resultado, percebe-se a superioridade da Indústria I em comparação às outras 2 indústrias, quanto à emissão de gases poluentes.


obs: valeu manuel272!!!

Answer 2

Questão - a):

=> Note que a Fórmula do Teorema de Bayes tem como denominador a fórmula do Teorema da Probabilidade Total

...assim ao resolver o exercício pelo Teorema de Bayes ..estamos implicitamente a utilizar a fórmula do Teorema da Probabilidade Total

Dados do problema:

PRODUÇÃO:

--> Indústria I = 0,44 da produção total  

--> Indústria II = 0,33 da produção total  

--> Indústria III = 0,23 da produção total


EMISSÃO DE POLUENTES:

--> Indústria I = 0,03 

--> Indústria II = 0,01

--> Indústria III = 0,02 


Temos a fórmula do Teorema de Bayes:

P(A | B) = [ P(Aₓ) . P(B | Aₓ) ]/[ ∑ⁿ₍ₓ ₁) P(Aₓ) P(B | Aₓ) ]

note que já temos como dados do problema:

para (x= 1):

=> P(A₁) = 0,44

=> P(B | A₁) = 0,03

para (x= 2):

=> P(A₂) = 0,33

=> P(B | A₂) = 0,01

para (x= 3):

=> P(A₃) = 0,23

=> P(B | A₃) = 0,02


assim substituindo na fórmula teremos:

P(A | B) = [ P(Aₓ) . P(B | Aₓ) ]/[ ∑ⁿ₍ₓ ₁) P(Aₓ) P(B | Aₓ) ]

P(A|B) = [P(A₁).P(B|A₁)]/{[P(A₁).P(B|A₁)]+[P(A₂).P(B|A₂)]+[P(A₃).P(B|A₃)]}

P(A|B) = [(0,44).(0,03)]/{[(0,44).(0,03)]+[(0,33).(0,01)]+[(0,23).(0,02)]}

P(A|B) = (0,0132)/[(0,0132)+(0,0033)+(0,0046)]

P(A|B) = (0,0132)/(0,0211)

P(A|B) = 0,6256


Questão b) 

Pelo cálculo acima indicado, podemos concluir que a probabilidade dos gases poluentes terem sido emitidos pela indústria I é de 62,56% (Valor aproximado)


Espero ter ajudado

............

Só por curiosidade (confirmação do resultado)

--> Probabilidade das emissões da Indústria I   = 62,56%
--> Probabilidade das emissões da Indústria II  = 15,64%
--> Probabilidade das emissões da Indústria III = 21,80%

Probabilidade Total = 62,56 + 15,64% + 21,80% = 100% ...como não podia deixar de ser