Question

Após um comprimido de antibiótico ser ingerido, a concentração de antibiótico na corrente sanguínea é modelada pela função C(t) = 8(e^-0,4t – e^-0,6t)
onde o tempo t é medido em horas e C é medido em µg/mL. Qual é a concentração máxima de antibiótico durante as primeiras 12 horas?

Answer 1

$\dfrac{dC}{dt} = \dfrac{d}{dt} [8(e^{-0.4t} - e^{-0.6t})]\\\\\dfrac{dC}{dt} = 8 (-0.4e^{-0.4t} + 0.6e^{-0.6t})$

$\dfrac{dC}{dt} = 0 \\\\8 (-0.4e^{-0.4t} + 0.6e^{-0.6t}) = 0\\\\0.4e^{-0.4t} = 0.6e^{-0.6t}\\\\ln \left ( \dfrac{e^{-0.4t}}{e^{-0.6t}} \right ) = ln \left ( \dfrac{3}{2}\\ \right )\\ln ( e^{0.2t} ) = ln \left (\dfrac{3}{2} \right )\\\\0.2t = ln \left (\dfrac{3}{2} \right )\\\\t = 5 ln \left (\dfrac{3}{2} \right ) h$

Substituindo na funcao da concentracao:

$C \left [ 5 ln \left (\dfrac{3}{2} \right ) h \right ] = 8 [ e^{-0.4 \cdot 5ln(3/2)} - e^{-0.6 \cdot 5ln(3/2)}]\\\\C \left [ 5 ln \left (\dfrac{3}{2} \right ) h \right ] = 8[ e^{-2ln(3/2)} - e^{-3ln(3/2)} ]\\\\C \left [ 5 ln \left (\dfrac{3}{2} \right ) h \right ] = 8 \left [ \left ( \dfrac{2}{3} \right )^2 - \left ( \dfrac{2}{3} \right )^3 \right ]\\\\C \left [ 5 ln \left (\dfrac{3}{2} \right ) h \right ] = 8 \dfrac{4}{27} = \dfrac{32}{27} \mu g/mL \approx 1.19 \mu g/mL$