Question

Após t horas de observação, a população P(t) de uma colônia de bactérias está variando a uma taxa dada por :

dP = 200 e^0,1t+150 e^ -0,03t bactérias/hora
d

Se havia 200.000 bactérias na colônia quando a observação começou, qual será o número de bactérias 12 horas depois?

__________ bactérias.

Escolha uma opção:
a. 206.152
b. 200.000
c. 206.000
d. 208.400

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre soluções de problemas de valor inicial.

Após $t$ horas de observação, a população $P(t)$ de uma colônia de bactérias está variando a uma taxa $\dfrac{dP}{dt}=200e^{0.1t}+150e^{-0.03t}$ bactérias/hora.

Sabemos que havia $200000$ bactérias na colônia ao início da observação, devemos determinar o número de bactérias após $12h$.

Para isso, devemos resolver este problema de valor inicial com condição de contorno $P(0)=200000$.

Multiplique ambos os lados da equação diferencial pelo diferencial $dt$

$dP=(200e^{0.1t}+150e^{-0.03t})\cdot dt$

Integre ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int dP=\int200e^{0.1t}+150e^{-0.03t}\,dt$

Para resolver estas integrais, lembre-se que:

• $\displaystyle{\int dP=\int 1\,dP=\int P^0\,dP$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma função composta pode ser calculada utilizando a técnica de substituição de variáveis.
• A integral da função exponencial é igual a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C$.

Aplique a regra da potência e a regra da soma

$\displaystyle{\dfrac{P^{0+1}}{0+1}+C_1=\int200e^{0.1t}\,dt+\int150e^{-0.03t}\,dt$

Aplique a regra da constante e some os valores no expoente e denominador

$\displaystyle{\dfrac{P^{1}}{1}+C_1=200\cdot\int e^{0.1t}\,dt+150\cdot\int e^{-0.03t}\,dt}\\\\\\ \displaystyle{P+C_1=200\cdot\int e^{0.1t}\,dt+150\cdot\int e^{-0.03t}\,dt}$

Na primeira integral, faça uma substituição $u=0.1t$ e na segunda integral, faça uma substituição $v=-0.03t$. Diferenciamos ambos os lados das igualdades, de modo a encontrarmos o diferencial $dt$:

$\dfrac{d}{dt}(u)= \dfrac{d}{dt}(0.1t)\\\\\\ \dfrac{d}{dt}(v)= \dfrac{d}{dt}(-0.03t)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• $\dfrac{d}{dt}(u)$, em que $u=u(t)$ é dita implícita e calculada pela regra da cadeia: $\dfrac{du}{dt}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Calcule a derivada implícita e aplique a regra da potência

$\dfrac{du}{dt}= 0.1\cdot\dfrac{d}{dt}(t)\\\\\\ \dfrac{dv}{dt}= -0.03\cdot\dfrac{d}{dt}(t)$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{du}{dt}= 0.1\cdot1\cdot t^{1-1}\\\\\\ \dfrac{dv}{dt}= -0.03\cdot1\cdot t^{1-1}\\\\\\\ \dfrac{du}{dt}= 0.1\Rightarrow du=0.1\,dt\Rightarrow dt=\dfrac{du}{0.1}\\\\\\ \dfrac{dv}{dt}= -0.03\Rightarrow dv=-0.03\,dt\Rightarrow dt=-\dfrac{dv}{0.03}$

Substituindo estes termos nas integrais, teremos:

$\displaystyle{P+C_1=200\cdot\int e^{u}\cdot\dfrac{du}{0.1}+150\cdot\int e^{v}\cdot\left(-\dfrac{dv}{0.03}\right)}$

Aplique a regra da constante e calcule as frações

$\displaystyle{P+C_1=200\cdot\dfrac{1}{0.1}\int e^{u}\,du+150\cdot\left(-\dfrac{1}{0.03}\right)\int e^{v}\,dv}\\\\\\ \displaystyle{P+C_1=2000\cdot\int e^{u}\cdot\dfrac{du}{0.1}-5000\cdot\int e^{v}\,dv}$

Calcule a integral das funções exponenciais

$P+C_1=2000\cdot (e^u+C_2)-5000\cdot(e^v+C_3)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça as substituições

$P+C_1=2000e^{0.1t}+2000C_2-5000e^{-0.03t}-5000C_3$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $2000C_2-5000C_3-C_1=C$

$P(t)=2000e^{0.1t}-5000e^{-0.03t}+C$

Então, utilizando a condição de contorno $P(0)=200000$, teremos:

$P(0)=2000e^{0.1\cdot0}-5000e^{-0.03\cdot0}+C\\\\\\\ 200000=2000e^0-5000e^0+C\\\\\\\ 200000=2000-5000+C\\\\\\\ 200000=C-3000$

Some $3000$ em ambos os lados da equação

$C=203000$

Assim, a solução deste problema de valor inicial é $P(t)=2000e^{0.1t}-5000e^{-0.03t}+203000$

Por fim, calculamos a população de bactérias em $12h$  após o início da observação:

$P(12)=2000e^{0.1\cdot12}-5000e^{-0.03\cdot12}+203000\\\\\\ P(12)=2000e^{1.2}-5000e^{-0.36}+203000$

Com o auxílio de uma calculadora, calculamos as potências e somamos os valores

$P(12)\approx206152$

Esta é, aproximadamente, a população de bactérias na colônia em em $12h$  após o início da observação e é a resposta contida na letra a).