Question

Aplicando R$ 50,00 mensalmente numa instituição financeira, durante 5 anos o resultado foi de R$ 4.314,44. Determine a taxa de juros paga pela instituição financeira (Inicie seus cálculos com a taxa de 1,13% a.m.)

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Answer 1

Temos um caso de Séries ou Sequências Uniformes, ou seja, temos um caso de financiamento a ser pago por parcelas (PMT) iguais ao longo de um período (n). Para esse tipo de cálculo é fundamental observar quando será feito o primeiro pagamento, pois:

• se o pagamento for feito no início do financiamento (como uma "entrada"), trata-se de uma Série Uniforme Antecipada - que não é o caso.

• se o pagamento for feito depois de um determinado período do financiamento (sem uma "entrada"), trata-se de uma Série Uniforme Postecipada - como é o caso atual.

Como o enunciado pede uma interpolação (aproximação de valores), teremos de calcular com taxas diferentes até encontrar o valor correto. Para facilitar, podemos utilizar a fórmula para o cálculo do valor futuro, buscando a comparação entre o valor futuro e o teste as variações de taxas. Teremos:

$\mathsf{FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}}$

Onde:

FV: valor futuro, R$4.314,44;

PMT: parcela, 50;

i: taxas de juros, que serão variáveis;

n: número de parcelas. Como serão 5 anos, podemos contar como 60 parcelas (pois 12 * 5 = 60).

Ao fazer os cálculos, podemos usar do auxílio de uma calculadora. Começarei por 1,13% a.m. (0,0113). Teremos:

$\mathsf{FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}}\\\\\\ \mathsf{\rhd~~50\cdot\dfrac{(1+0,0113)^{60}-1}{0,0113}}\\\\\\ \mathsf{\rhd~~50\cdot\dfrac{(1,0113)^{60}-1}{0,0113}}\\\\\\ \mathsf{\rhd~~50\cdot\dfrac{1,9624582873...-1}{0,0113}}\\\\\\ \mathsf{\rhd~~50\cdot\dfrac{0,9624582873...}{0,0113}}\\\\\\ \mathsf{\rhd~~50\cdot85,1732997593...}\\\\\\ \mathsf{4.258,6649879637...\neq4.314,44}$

Como demonstrado, 1,13% a.m é uma taxa inválida, apesar de retornar um valor próximo. De qualquer forma, o ideal é partir para a alternativa com um valor pouco maior que 1,13%. Vamos testar o valor da alternativa D, 1,71% a.m. (0,0171). Teremos:

$\mathsf{FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}}\\\\\\ \mathsf{\star~~50\cdot\dfrac{(1+0,0117)^{60}-1}{0,0117}}\\\\\\ \mathsf{\star~~50\cdot\dfrac{(1,0117)^{60}-1}{0,0117}}\\\\\\ \mathsf{\star~~50\cdot\dfrac{2,0095786109...-1}{0,0117}}\\\\\\ \mathsf{\star~~50\cdot\dfrac{1,0095786109...}{0,0117}}\\\\\\ \mathsf{\star~~50\cdot86,2887701639}\\\\\\ \mathsf{4.314,4385081948...\approxeq4.314,44~~\checkmark}$

Com uma aproximação, a taxa de 1,17% a. m. retorna o montante final dado no enunciado, logo, a resposta correta está na alternativa D.