Question

Aplicando R$3:500; 00 por 18 meses, Sandra Rosa Madalena
obteve o montante de R$7:840; 00. Dado que a aplicação foi feita em
duas etapas - na primeira, à taxa de 6%a:m:; na segunda, o montante obtido na
anterior é reaplicado à taxa de 5%a:m: -, quais os prazos de aplicação (relativos
a cada taxa)?
Alguém pode mim ajudar nesta questão?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Valtenes, você não informou qual o regime de juros (se juros simples ou se juros compostos).
Mas vamos considerar que as duas aplicações foram ambas em juros simples.
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo, para um melhor entendimento.

i) Vamos fazer a aplicação de R$ 3.500,00, a uma taxa de juros de 6% (ou 0,06) ao mês, por "n" meses. Depois aplicaremos o montante desta primeira aplicação a 5% (ou 0,05) ao mês por "18-n" meses, pois o tempo total das duas aplicações foi de 18 meses.
Assim, teremos:

M = 3.500*(1+0,06*n)
M = 3.500*(1+0,06n) ----- efetuando o produto indicado, teremos;
M = 3.500*1 + 3.500*0,06n
M = 3.500 + 210n  <--- Este foi o montante apurado da primeira aplicação.

ii) Agora vamos fazer a aplicação do montante acima (3.500+210n) a uma taxa de juros simples de 5% (ou 0,05) ao mês, durante "18-n" meses e igualar ao montante final, que foi de R$ 7.840,00. Assim, teremos:
Assim teremos:

(3.500+210n)*[1+0,05*(18-n)] = 7.840 ---- desenvolvendo, teremos:
(3.500+210n)*[1+0,05*18-0,05*n] = 7.840
(3.500+210n)*[1+0,9 - 0,05n] = 7.840
(3.500+210n)*[1,9 - 0,05n] = 7.840 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
3.500*1,9-3.500*0,05n + 210n*1,9 - 210n*0,05n = 7.840
6.650 - 175n + 399n - 10,5n² = 7.840 --- ou:
6.650 + 224n - 10,5n² = 7.840 ---- ordenando e passando o 2º membro para o 1º, teremos:

-10,5n² + 224n + 6.650-7.840 = 0 -- ou apenas:
-10,5n² + 224n - 1.190 = 0 --- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

10,5n² - 224n + 1.190 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes: 
 
n' = 10
n'' = 11,33

Como, geralmente, a resposta dá um número "redondo", então vamos tomar apenas a primeira raiz (n = 10). Então a primeira aplicação foi por 10 meses e a segunda aplicação foi por 8 meses (18-10 = 8 meses). Lembre-se que chamamos o prazo da primeira aplicação de "n" meses e o da segunda aplicação de "18-n" meses.

Assim, resumindo, teremos que:

10 meses para a 1ª aplicação e 8 meses para a 2ª aplicação. <--- Esta é a resposta.

Claro que a resposta também poderia ser tomarmos o número "quebrado" (e não "redondo")  de "11,33" meses para a primeira aplicação e "6,67" meses para a 2ª aplicação (18 meses-11,33 meses = 6,67 meses). A resposta não dá exatamente porque os números são "quebrados", mas também dá o resultado final das aplicações de (R$ 7.840,00 bem aproximado).

Note que fizemos várias edições da resposta, pois, a cada vez que terminava uma parte eu já enviava (com medo da oscilação de energia, que faz com que o meu computador desligue sozinho).
Agora deu certo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.