Question

Aplicando o Método do escalonamento, resolver o sistema

{ x-y-z=2
{ 2x-4y+z = 16
{-x+5y+3z=-10

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gianlucca, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver, por escalonamento, o seguinte sistema:

{x - y - z = 2                    . (I)
{2x - 4y + z = 16            . (II)
{- x + 5y + 3z = - 10      . (III)

Agora veja isto: o método do escalonamento consiste em colocar-se os coeficientes das incógnitas numa matriz e, a partir daí, fazer o "jogo" de multiplicar uma fila (linha ou coluna) por um número e, depois, somar essa fila assim multiplicada com outra fila. Às vezes, não precisa nem multiplicar uma fila por algum número, mas apenas efetuar uma soma algébrica de uma fila com a outra, se assim mostrar-se mais conveniente.
Na verdade, isso é a mesma coisa que você tomar uma das expressões e multiplicá-la por algum número e, depois, efetuar a soma algébrica com outra expressão. E, igualmente, não seria nem necessário multiplicar uma expressão por um número qualquer, mas apenas a soma algébrica de uma expressão com a outra, se assim for mais conveniente.
Bem, visto isso, então vamos fazer o seguinte:

i) Vamos somar, membro a membro, a expressão (I) com a expressão (III), com o que teremos:

x - y - z = 2 --------- [esta é a expressão (I) normal]
-x+5y+3z = -10 --- [esta é a expressão (III) normal] 
-------------------------------- somando membro a membro, teremos:
0+4y+2z = - 8 ---- ou apenas:
4y + 2z = - 8      . (IV)

ii) Agora faremos o seguinte: tomaremos a expressão (III) e a multiplicaremos por "2". Em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (II), com o que teremos isto:

2x - 4y + z = 16 ------ [esta é a expressão (II) normal]
-2x+10y+6z = -20 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "2"]
--------------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 6y+7z = - 4 ----- ou apenas:
6y + 7z = - 4      . (V).

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado por apenas duas equações e duas incógnitas, que são as expressões (IV) e (V) e que são estas:

4y + 2z = - 8      . (IV)
6y + 7z = - 4      . (V)

Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão  (IV) por "-7" e a expressão (V) por "2". Em seguida somaremos, membro a membro, as duas expressões multiplicadas na forma acima. Assim teremos:

-28y - 14z = 56 ---- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-7"]
12y + 14z = -8 ----- [esta é a expressão (V) multiplicada por "2"]
----------------------------- somando membro a membro, teremos:
-16y + 0 = 48 ---- ou apenas
- 16y = 48 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
16y = - 48
y = - 48/16
y = - 3 <--- Este é o valor de "y".

Agora, para encontrar o valor de "x" vamos em quaisquer uma das expressões acima [ou na (IV) ou na (V)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "y" por "-3".
Vamos na expressão (IV), que é esta:

4y + 2z = - 8 ---- substituindo-se "y" por "-3", teremos:
4*(-3) + 2z = - 8
-12 + 2z = - 8
2z = - 8 + 12
2z = 4
z = 4/2
z = 2 <--- Este é o valor de "z".

Finalmente, para encontrar o valor de "x", vamos em uma das expressões iniciais [na (I), na (II) ou na (III)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o "y" por "-3" e o "z" por "2". Vamos na expressão (I), que é esta:

x - y - z = 2 ---- substituindo-se "y" por "-3" e "z" por "2", teremos:
x - (-3) - 2 = 2
x + 3 - 2 = 2
x + 1 = 2
x = 2 - 1
x = 1 <--- Este é o valor de "x".

iv) Assim, sintetizando, temos que os valores de "x", "y" e "z" são estes:

x = 1 ; y = - 3 ; z = 2 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y; z} da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {1; -3; 2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.