Aplicando a fórmula do termo geral na expressão (x+2)^8, determinea) o termo médiob) o termo independentec) o sétimo termo
Soluções para a tarefa
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o sétimo termo é
(7+2)^8
9^8
=43046721
(7+2)^8
9^8
=43046721
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Vamos lá.
Veja, Jalara, que a resolução é simples.
Antes de mais nada veja que o desenvolvimento de (x+a)ⁿ é dado por:
C₍n, ₀₎*xⁿ*a⁰ + C₍n, ₁)*xⁿ⁻¹*a¹ + C₍n, ₂)*xⁿ⁻²*a² + ........ + C₍n, n₎*x⁰*aⁿ .
Assim, como você está notando, sempre começamos com combinação de "n" elementos, tomados "0" a "0" e terminamos com "n" elementos tomados "n" a "n".
Bem, como sabemos onde começa e sabemos onde termina, então é por isso que o desenvolvimento de (x+a)ⁿ SEMPRE tem "n+1" elementos.
Veja:
(x+1)² = x²+2x+1 <--- Veja: aqui o "n" é "2" e encontramos 3 elementos.
(x+1)³ = x³+3x²+3x+1 <-- Veja: aqui o "n" é "3" e encontramos 4 elementos.
(x+1)⁴ = x⁴+4x³+6x²+4x+1 <-- aqui o "n" é "4" e encontramos 5 elementos.
Então, como já vimos, um desenvolvimento da forma que vimos aí em cima sempre terá um elemento a mais do que o expoente.
Bem, visto isso, vamos à expressão da questão, que é esta: (x+2)⁸. A partir daqui são pedidos:
a) o termo médio. Veja que o termo médio, se já sabemos que o desenvolvimento (x+2)⁸ terá 9 elementos (ou termos), então o termo médio será o 5º elemento (ou 5º termo) que, como começamos de combinação de "n" elementos tomados "0" a "0", então o 5º termo será combinação de "n" elementos tomados "4" a "4". Assim, teremos para encontrar o termo médio:
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8!/(8-4)!4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8!/(4!4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8*7*6*5*4!/4!4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8*7*6*5/4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8*7*6*5]/4*3*2*1]/2⁴x⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [1.680/24]*16x⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = 70*16x⁴ ------ note que 70*16 = 1.120. Assim:
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = 1.120x⁴ <--- Este é o termo médio do desenvolvimento (x+2)⁸.
b) o termo independente. Veja: o termo independente sempre será o último termo, quando temos isto C₍n, n₎)*x⁰*aⁿ. Assim, para o desenvolvimento (x+2)⁸, teremos:
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/(8-8)!8!]*x⁰*2⁸
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/0!8!]*x⁰*2⁸
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/1.8!]*1*256 --- ou apenas:
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/8!]*256
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = 1*256
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = 256 <--- Esta é a resposta. Este é o termo independente do desenvolvimento da sua questão (x+2)⁸.
c) O sétimo termo.
Veja: se sempre começamos de C₍n, ₀₎ então o 7º termo será C₍n,₆). Então teremos que :
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8!/(8-6)!6!]*x²*2⁶
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8!/2!6!]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8/6!2!]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8*7*6!/6!2!]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8*7/2*1]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [56/2]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = 28*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = 1.792x² <--- Esta é a resposta. Este é o 7º termo de (x+2)⁸.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Jalara, que a resolução é simples.
Antes de mais nada veja que o desenvolvimento de (x+a)ⁿ é dado por:
C₍n, ₀₎*xⁿ*a⁰ + C₍n, ₁)*xⁿ⁻¹*a¹ + C₍n, ₂)*xⁿ⁻²*a² + ........ + C₍n, n₎*x⁰*aⁿ .
Assim, como você está notando, sempre começamos com combinação de "n" elementos, tomados "0" a "0" e terminamos com "n" elementos tomados "n" a "n".
Bem, como sabemos onde começa e sabemos onde termina, então é por isso que o desenvolvimento de (x+a)ⁿ SEMPRE tem "n+1" elementos.
Veja:
(x+1)² = x²+2x+1 <--- Veja: aqui o "n" é "2" e encontramos 3 elementos.
(x+1)³ = x³+3x²+3x+1 <-- Veja: aqui o "n" é "3" e encontramos 4 elementos.
(x+1)⁴ = x⁴+4x³+6x²+4x+1 <-- aqui o "n" é "4" e encontramos 5 elementos.
Então, como já vimos, um desenvolvimento da forma que vimos aí em cima sempre terá um elemento a mais do que o expoente.
Bem, visto isso, vamos à expressão da questão, que é esta: (x+2)⁸. A partir daqui são pedidos:
a) o termo médio. Veja que o termo médio, se já sabemos que o desenvolvimento (x+2)⁸ terá 9 elementos (ou termos), então o termo médio será o 5º elemento (ou 5º termo) que, como começamos de combinação de "n" elementos tomados "0" a "0", então o 5º termo será combinação de "n" elementos tomados "4" a "4". Assim, teremos para encontrar o termo médio:
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8!/(8-4)!4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8!/(4!4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8*7*6*5*4!/4!4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8*7*6*5/4!]*x⁴*2⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [8*7*6*5]/4*3*2*1]/2⁴x⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = [1.680/24]*16x⁴
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = 70*16x⁴ ------ note que 70*16 = 1.120. Assim:
C₍₈, ₄₎*x⁴*2⁴ = 1.120x⁴ <--- Este é o termo médio do desenvolvimento (x+2)⁸.
b) o termo independente. Veja: o termo independente sempre será o último termo, quando temos isto C₍n, n₎)*x⁰*aⁿ. Assim, para o desenvolvimento (x+2)⁸, teremos:
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/(8-8)!8!]*x⁰*2⁸
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/0!8!]*x⁰*2⁸
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/1.8!]*1*256 --- ou apenas:
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = [8!/8!]*256
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = 1*256
C₍₈,₈₎*x⁰*2⁸ = 256 <--- Esta é a resposta. Este é o termo independente do desenvolvimento da sua questão (x+2)⁸.
c) O sétimo termo.
Veja: se sempre começamos de C₍n, ₀₎ então o 7º termo será C₍n,₆). Então teremos que :
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8!/(8-6)!6!]*x²*2⁶
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8!/2!6!]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8/6!2!]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8*7*6!/6!2!]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [8*7/2*1]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = [56/2]*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = 28*64x²
C₍₈, ₆)*x²*2⁶ = 1.792x² <--- Esta é a resposta. Este é o 7º termo de (x+2)⁸.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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