Question

aplicando a definição, calcule a derivada das funções:

a) f(x) = 2x³
b f(x) = x² - x

Answer 1

Resposta: - 16    

x=1/2

Explicação passo-a-passo:f(x) = 2x³

f(0) = 0

f(-1) = 2*(-1)³ = -2

f(2) = 2*2³ = 2*8 = 16

f(-2) = 2*(-2)³ = -2*8 = - 16

f(x)= x2-1

x2-1=0

2x-1=0

2x=1

x=1/2

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Relembrando a Definição

Uma função f(x) definida em um intervalo aberto (a,b) é derivável em x ∈ (a,b) se existir o seguinte limite:

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

a) f(x) = 2x³

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(2x^{3} + h) - 2x^3}{h}$

f(2x³ + h ) = 2(x + h)³ = 2(x³ + 3x²h + 3xh² + h³) = 2X³ + 6x²h + 6xh² + 2h³

Então:

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(2x^{3} + h) - 2x^3}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{2x^{3} +6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 - 2x^3}{h} =\\= \lim_{h \to \ 0} \frac{6 x^2h + 6xh^2 + 2h^3 }{h} = \\\\\lim_{h \to \ 0} \frac{h(6 x^2 + 6xh + 2h^2) }{h} \\\\\lim_{h \to \ 0} 6 x^2 + 6xh + 2h^2\\= 6 x^2$

b) f(x) = x² - x

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(x + h)^2 - x - h - x^2 +x}{h} =\\\\= \lim_{h \to \ 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x - h - x^2 +x}{h} =\\\\= \lim_{h \to \ 0} \frac{ 2xh + h^2 - h }{h} =\\\\= \lim_{h \to \ 0} \frac{ h(2x + h - 1) }{h} =\\== \lim_{h \to \ 0} 2x + h - 1 =\\\\= 2x - 1$