Question

Aplicação de derivadas:

Um supermercado determina que seu negocio de volumes V( em milhares de dólares) e o número de horas t que a loja permanece aberta em cada dia estão, de forma aproximada, relacionados pela fórmula V= 20(1- 100/100+t^2), 0 ≤ t ≤ 24. encontre a dV/dt, t=10.

Answer 1

$V=20\left(1-\dfrac{100}{100+t^{2}}\right)\\\\\\V=20\left(\dfrac{(100+t^{2})-100}{100+t^{2}}\right)\\\\\\V=20\left(\dfrac{t^{2}}{100+t^{2}}\right)$

Derivando V em relação a t:

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{20t^{2}}{100+t^{2}}\right)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=20\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t^{2}}{100+t^{2}}\right)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=20\left(\dfrac{(t^{2})'\cdot(100+t^{2})-(100+t^{2})'\cdot t^{2}}{(100+t^{2})^{2}}\right)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=20\left(\dfrac{2t(100+t^{2})-t^{2}(2t)}{(100+t^{2})^{2}}\right)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=20\left(\dfrac{2t(100+t^{2}-t^{2})}{(100+t^{2})^{2}}\right)\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=20\left(\dfrac{2t\cdot100}{(100+t^{2})^{2}}\right)$

$\boxed{\boxed{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4000t}{(100+t^{2})^{2}}}}$

Portanto, a derivada de V em relação a t quando t = 10 é:

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4000\cdot10}{(100+10^{2})^{2}}\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{40000}{(100+100)^{2}}\\\\\\\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{200^{2}}{200^{2}}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dV}{dt}=1~\dfrac{mil~d\'olares}{h}}}$