Question

aplicacao de derivadas

Answer 1

a) $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x$

$f'(x)=6x^{2}+6x-36\\ \\ f''(x)=12x+6$


$\bullet\;\;$ Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, devemos estudar o sinal da primeira derivada.

Encontrando os pontos críticos:

$f'(x)=0\\ \\ 6x^{2}+6x-36=0\\ \\ 6\cdot (x^{2}+x-6)=0\\ \\ x^{2}+x-6=0\\ \\ x^{2}+3x-2x-6=0\\ \\ x\,(x+3)-2\,(x+3)=0\\ \\ (x+3)\,(x-2)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+3=0&\;\Rightarrow\;&x_{1}=-3\\ \\ x-2=0&\;\Rightarrow\;&x_{2}=2 \end{array}$


Temos que

$\left\{ \begin{array}{cl} f'(x)>0,&\text{quando }x<-3\;\text{ ou }\;x>2\\ \\ f'(x)<0,&\text{quando }-3<x<2 \end{array} \right.$


Logo,

$f$ é crescente em $(-\infty;\,-3)\cup(2,\;+\infty);$

$f$ é decrescente em $(-3;\,2).$


$\bullet\;\;$ Para encontrar os pontos extremos aplicamos a segunda derivada aos pontos críticos:

$f''(-3)=12\cdot (-3)+6\\ \\ f''(-3)=-36+6\\ \\ f''(-3)=-30<0$

Logo, $f$ tem um máximo local em $x=-3.$


$f''(2)=12\cdot 2+6\\ \\ f''(-3)=24+6\\ \\ f''(-3)=30>0$

Logo, $f$ tem um mínimo local em $x=2.$


$\bullet\;\;$ Para avaliar a concavidade da função, temos que estudar o sinal da segunda derivada:

$f''(x)=0\\ \\ 12x+6=0\\ \\ 12x=-6\\ \\ x=-\frac{6}{12}\\ \\ x=-\frac{1}{2}$


Temos que

$\left\{ \begin{array}{cl} f''(x)<0,&\text{quando }x<-\frac{1}{2}\\ \\ f''(x)>0,&\text{quando }x>-\frac{1}{2} \end{array} \right.$


Logo, o gráfico de $f$ tem

concavidade para baixo, quando $x<-\frac{1}{2},$

concavidade para cima, quando $x>-\frac{1}{2},$

e um ponto de inflexão em $x=-\frac{1}{2}.$



b) $f(x)=4x^{3}+3x^{2}-6x+1$

$f'(x)=12x^{2}+6x-6\\ \\ f''(x)=24x+6$


$\bullet\;\;$ Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, devemos estudar o sinal da primeira derivada.

Encontrando os pontos críticos:

$f'(x)=0\\ \\ 12x^{2}+6x-6=0\\ \\ 6\cdot (x^{2}+x-1)=0\\ \\ x^{2}+x-1=0\\ \\ \\ \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)\\ \\ \Delta=1+4\\ \\ \Delta=5\\ \\ \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\;\text{ e }\;&x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$


Temos que

$\left\{ \begin{array}{cl} f'(x)>0,&\text{quando }x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\;\text{ ou }\;x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ \\ f'(x)<0,&\text{quando }\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{array} \right.$


Logo,

$f$ é crescente em $(-\infty;\,\frac{-1-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\,+\infty);$

$f$ é decrescente em $(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}).$


$\bullet\;\;$ Para encontrar os pontos extremos aplicamos a segunda derivada aos pontos críticos:

$f''(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=24\cdot (\frac{-1-\sqrt{5}}{2})+6\\ \\ f''(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=12\,(-1-\sqrt{5})+6\\ \\ f''(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-12-12\sqrt{5}+6\\ \\ f''(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-6-12\sqrt{5}<0$

Logo, $f$ tem um máximo local em $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$


$f''(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=24\cdot (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})+6\\ \\ f''(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=12\,(-1+\sqrt{5})+6\\ \\ f''(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=-12+12\sqrt{5}+6\\ \\ f''(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=12\sqrt{5}-6>0$

Logo, $f$ tem um mínimo local em $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$


$\bullet\;\;$ Para avaliar a concavidade da função, temos que estudar o sinal da segunda derivada:

$f''(x)=0\\ \\ 24x+6=0\\ \\ 24x=-6\\ \\ x=-\frac{6}{24}\\ \\ x=-\frac{1}{4}$


Temos que

$\left\{ \begin{array}{cl} f''(x)<0,&\text{quando }x<-\frac{1}{4}\\ \\ f''(x)>0,&\text{quando }x>-\frac{1}{4} \end{array} \right.$


Logo, o gráfico de $f$ tem

concavidade para baixo, quando $x<-\frac{1}{4},$

concavidade para cima, quando $x>-\frac{1}{4},$

e um ponto de inflexão em $x=-\frac{1}{4}.$