Question

Ao verificar se A = {(1,0,2), (-1,1,0), (1,1,1)} gera o espaço V. Fazendo: a1 (1, 0, 2)+ a2(- 1, 1, 0) + a3 ( 1, 1, 1) = (x, y, z). Obtemos:
a1 =-2X-Y+2Z
___________
3

a3 =2x+y-z
_____
3

a2 = y - 2 a3


a2 = -x+y+z
______
3

a1 = 2z-x-y
_____
3

Answer 1

Olá!

    Temos:

$a_1(1,0,2)+a_2(-1,1,0)+a_3(1,1,1)=(x,y,z)\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}a_1-a_2+a_3&=&x\;\;\;\;\;(I)\\ a_2+a_3&=&y\;\;\;\;(II)\\ 2a_1+a_3&=&z\;\;\;(III) \end{array}.$

    Da equação (II), temos:  $a_3=y-a_2.$   E da equação (I), temos

$a_3=x-a_1+a_2.$   Logo,

$y-a_2=x-a_1+a_2\Leftrightarrow 2a_2-a_1=y-x\Leftrightarrow a_1=x-y+2a_2.$

Substituindo esta última em (III):


$2\cdot (x-y+2a_2)+a_3=z\overset{a_3=y-a_2}{\Longrightarrow}\;2x-2y+4a_2+y-a_2=z\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 3a_2+2x-y=z\Rightarrow a_2=\dfrac{z-2x+y}{3}.$

   Como já tínhamos   $a_3=y-a_2$   segue que

$a_3=y-\left(\dfrac{z-2x+y}{3}\right)\Rightarrow a_3=y+\dfrac{2x-y-z}{3}=\dfrac{2x+2y-z}{3}.$

    Portanto,


$a_1-a_2+a_3=x\Rightarrow a_1=x+a_2-a_3\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow a_1=x+\dfrac{z-2x+y}{3}-\left(\dfrac{2x+2y-z}{3}\right) = \\ \\ \\ = x+\dfrac{z-2x+y}{3}+\dfrac{z-2x-2y}{3}=x+\dfrac{2z-4x-y}{3}\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow a_1=\dfrac{2z-x-y}{3}.$


   
    Assim, a opção correta é a última.




Bons estudos!