Question

ao se lançar um dado 3 vezes, qual a probabilidade de que ocorra o numero 5 exatamente 2 vezes?

Answer 1

Utilizando a distribuição binomial de probabilidades, temos que

Em um experimento aleatório

$\bullet\;\;$ a probabilidade de sucesso é $p$

$\bullet\;\;$ a probabilidade de fracasso é $1-p$


Se este experimento aleatório é repetido $n$ vezes, a probabilidade de ocorrer exatamente $k$ sucessos (o que equivale a ocorrer exatamente $n-k$ fracassos) é

$\boxed{P\left(x=k \right )=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot \left(1-p \right )^{n-k}}$


Para esta questão, o experimento aleatório é o lançamento um  dado (por convenção o dado é honesto).

$n=3\text{ vezes}\\ \\ k=2\text{ vezes o n\'{u}mero 5}$


O sucesso é o evento "sair 5 em um lançamento" e o fracasso é "não sair 5 em um lançamento".

A probabilidade de sucesso é

$p=P\left(\text{sair 5} \right )=\dfrac{1}{6}$


A probabilidade de fracasso é

$1-p=P\left(\text{n\~{a}o sair 5} \right )=1-\dfrac{1}{6}\\ \\ 1-p=\dfrac{5}{6}$


Então, a probabilidade de se obter exatamente $2$ cincos em $3$ lançamentos é

$P\left(x=2 \right )=\dbinom{3}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{6} \right )^{2}\cdot \left(\dfrac{5}{6} \right )^{3-2}\\ \\ P\left(x=2 \right )=\dfrac{3!}{2!\cdot \left(3-2 \right )!}\cdot \left(\dfrac{1}{6} \right )^{2}\cdot \left(\dfrac{5}{6} \right )^{1}\\ \\ P\left(x=2 \right )=\dfrac{3!}{2!\cdot 1!}\cdot \dfrac{1}{6^{2}}\cdot \dfrac{5}{6}\\ \\ P\left(x=2 \right )=\dfrac{3\cdot \diagup\!\!\!\!\!2!}{\diagup\!\!\!\!\!2!\cdot 1}\cdot \dfrac{1}{6^{2}}\cdot \dfrac{5}{6}\\ \\ P\left(x=2 \right )=3\cdot \dfrac{5}{6^{3}}\\ \\ P\left(x=2 \right )=\dfrac{15}{216}\\ \\ \boxed{P\left(x=2 \right )=\dfrac{5}{72}\approx6,9\%}$