Question

Ao se lançar um dado 3 vezes, qual a probabilidade de que ocorra o numero 5 exatamente 2 vezes?

Answer 1

Os números que sairão nos dados serão: $(5, 5, n)$ de modo que $n \neq 5$.

Dessa forma teremos 5 candidatos para o valor de n: $(1, 2, 3, 4, 6)$.

Agora, dado o conjunto de resultados obtidos no dado $(5, 5, n)$ podemos alterar a ordem a qual os elementos se apresentam no conjunto. Ou seja podemos ter:
$(n, 5, 5), (5, 5, n), (5, n, 5) = 3 possibilidades$.

Dessa forma o número cinco pode ocorrer 3 x 5 = 15 vezes.

Para o espaço amostral temos o total de 6 possibilidades em qualquer arremesso.

Dessa forma: $p = \frac{15}{6^3}$

$p = \frac{5}{72}$

Answer 2

Podemos usar a distribuição binomial de probabilidades.

A probabilidade de se obter um $5$ (sucesso) é

$p=\frac{1}{6}$


A probabilidade de não se obter um $5$ (fracasso) é

$1-p=\frac{5}{6}$


A probabilidade de que em $n$ experimentos, exatamente $k$ sejam sucesso é

$P(x=k)=\binom{n}{k}\,p^{k} \cdot \left(1-p \right )^{n-k}$


O nosso experimento é o lançamento de um dado. Assim, a probabilidade de ocorrer exatamente $2$ cincos em $3$ lançamentos é

$P(x=2)=\binom{3}{2}\,\left(\frac{1}{6} \right )^{2} \cdot \left(\frac{5}{6} \right )^{3-2}\\ \\ =\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1}\cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6}\\ \\ =\boxed{\frac{5}{72}}$