Question

Ao resolver a equação diferencial y' + 2y = x.e-2x pelo método dos fatores integrantes, qual é o valor da constante C, sabendo que y( 1) = 0? ALTERNATIVAS 1. -1. 0,5. -0,5. 2.

Answer 1

Olá


Equação Diferencial Ordinária, EDO 1ª Ordem, PVI.


$\displaystyle \left \{ {{\mathsf{y'+2y=xe^{-2x}}} \atop {\mathsf{y(1)=0\quad\quad\quad}}} \right.$



Uma EDO e 1ª ordem tem o seguinte formato:

y' + P(x)y = Q(x)

E o fator integrante dado por:

I = $\displaystyle\mathsf{e^{\int P(x)dx}}$



Com isso, ao comparar a equação o problema, com a equação simbólica, podemos indicar que:

P(x) = 2



Vamos então encontrar o fator integrante...


$\displaystyle\mathsf{I=e^{\int P(x)dx}}\\\\\\\mathsf{I=e^{\int 2dx}}\\\\\\\boxed{\mathsf{I=e^{2x}}}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Fator integrante}$



Agora vamos multiplicar toda a equação pelo fator integrante que acabamos de encontrar.



$\displaystyle\mathsf{(y'+2y=xe^{-2x})\cdot e^{2x}}} \\\\\\\\\mathsf{e^{2x}y'+e^{2x}2y=e^{2x}xe^{-2x}}$



Na segunda parcela da equação, podemos cancelar os temos e^{2x} com e^{-2x} .... Regra de multiplicação, bases iguais soma-se os expoentes.



$\displaystyle \mathsf{e^{2x}y'+e^{2x}2y=x}$



Na primeira parcela da equação, temos que tudo aquilo nada mais é que a derivada do produto de (y.I) ... (y pelo fator integrante)



$\mathsf{(y\cdot I)'=x}\\\\\text{Sendo I}=\mathsf{e^{2x}}$




Agora vamos integrar ambos os lados


$\displaystyle \mathsf{\int (y\cdot e^{2x})'dx~=~\int xdx}$



Na primeira parcela podemos cancelar a integral com a derivada, sim pois trata-se que uma é a operação inversa da outra. E na segunda parcela, integra-se normalmente.


$\displaystyle \mathsf{ye^{2x}= \frac{x^2}{2}+C }$



Isola o y


$\displaystyle \mathsf{y= \frac{x^2}{2e^{2x}}+ \frac{C}{e^{2x}} }$



Vamos encontrar o valor do C (que é o que a questão pede)

De acordo com o enunciado

y(1) = 0


Ou seja,

quando x = 1 , y = 0


$\displaystyle \mathsf{y= \frac{x^2}{2e^{2x}}+ \frac{C}{e^{2x}} }\\\\\\\displaystyle \mathsf{0= \frac{(1)^2}{2e^{2(1)}}+ \frac{C}{e^{2(1)}} }\\\\\\\displaystyle \mathsf{0= \frac{1}{2e^{2}}+ \frac{C}{e^{2}} }\\\\\\\displaystyle \mathsf{-\frac{1}{2e^{2}}=\frac{C}{e^{2}} }\\\\\\\displaystyle \mathsf{-\frac{1}{2\diagup\!\!\!\!\!e^{2}}\cdot \diagup\!\!\!\!e^{2} = C }\\\\\\\displaystyle\boxed{\mathsf{C=-\frac{1}{2} }}\\\\\\\text{Ou na forma decimal}\\\\\\\boxed{\mathsf{C=-0,5}}\qquad\Longleftarrow\text{RESPOSTA}$




Só para deixar a resposta completa, vamos substituir o valor de C e encontrar a equação particular dessa EDO


$\displaystyle\mathsf{y=\frac{x^2}{2e^{2x}}+ \frac{C}{e^{2x}}}\\\\\\\mathsf{y=\frac{x^2}{2e^{2x}}- \frac{ \frac{1}{2} }{e^{2x}}}\\\\\\\mathsf{y= \frac{x^2}{2e^{2x}} - \frac{1}{2e^{2x}} }\\\\\\\boxed{\mathsf{y= \frac{x^2-1}{2e^{2x}} }}$





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