Question

Ao resolver a equação diferencial .
Pelo método dos fatores integrantes.
Qual ė o valor da Constante C.
conforme enunciado abaixo da figura

Answer 1

Um fator integrante é uma função $\mu$ que permite passar de uma equação não-exata a uma equação exata. Começamos por escrever a equação na forma:

$M(x,y) + N(x,y) y' = 0,$

onde $M,N:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ são as funções $C^1$ dadas por:

$M(x,y) = 2y - x\textrm{e}^{-2x} \quad\textrm{e}\quad N(x,y) = 1.$

Notamos que:

$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 2 \neq \dfrac{\partial N}{\partial x} = 0,$

pelo que a equação não é exata. Notamos, contudo, que multiplicando a função pelo fator integrante $\mu(x) = \textrm{e}^{2x}$, obtemos a equação:

$M^*(x,y) + N^*(x,y) y' = 0,$

com  $M^*,N^*:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ as funções dadas por:

$M^*(x,y) = M(x,y)\mu(x) = \left(2y - x\textrm{e}^{-2x}\right)\times\textrm{e}^{2x} = 2y\textrm{e}^{2x} - x$

e

$N^*(x,y) = N(x,y)\mu(x) = 1\times\textrm{e}^{2x} = \textrm{e}^{2x}.$

Esta equação já verifica a igualdade das derivadas parciais:

$\dfrac{\partial M^*}{\partial y} = 2\textrm{e}^{2x} = \dfrac{\partial N^*}{\partial x},$

pelo que é exata. Existe então um potencial $\Phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ que verifica:

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} = M^* \quad\textrm{e}\quad \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} = N^*.$

Integrando $M^*$ em ordem a $x$, vem:

$\displaystyle \Phi(x,y) = \int M^*(x,y)\textrm{ d}x = \int \left(2y\textrm{e}^{2x} - x\right)\textrm{d}x = y\textrm{e}^{2x} - \dfrac{x^2}{2} + g(y),$

com $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função diferenciável da variável $y$. Derivando $\Phi$ em ordem a $y$, temos de recuperar $N^*$, pelo que podemos determinar $g$:

$\dfrac{\partial\Phi}{\partial y} = N^* \iff \dfrac{\partial}{\partial y} \left(y\textrm{e}^{2x} - \dfrac{x^2}{2} + g(y)\right) = \textrm{e}^{2x} \iff \textrm{e}^{2x} + g'(y) = \textrm{e}^{2x} \iff\\\\\iff g'(y) = 0 \iff g(y) = k,$

com $k\in\mathbb{R}$. Assim, o potencial é dado por:

$\Phi(x,y) = y\textrm{e}^{2x} - \dfrac{x^2}{2} + k.$

Para cada solução $y$, o potencial é constante, donde:

$\Phi(x,y) = c \iff y\textrm{e}^{2x} - \dfrac{x^2}{2} + k = c \iff y\textrm{e}^{2x} - \dfrac{x^2}{2} = C,$

com $c\in\mathbb{R}$ e $C = c-k \in \mathbb{R}.$

Para determinar a constante $C$, fazemos uso da condição inicial $y(1)=0$, substituindo estes valores na equação anterior:

$0\times\textrm{e}^{2\times 1} - \dfrac{1^2}{2} = C \iff C = -0.5.$