Question

.Ao pesquisar o lucro sobre a venda de um determinado produto descobriu-se que ele respeita uma função quadrática L = -250 + 120 x – x². Onde x é o preço do produto em questão. Qual é o lucro máximo que esse produto pode gerar? *​

Answer 1

Resposta:

Lucro máximo L(x): R$3350,00.

Explicação passo-a-passo:

Para encontrar o lucro máximo que pode ser gerado, podemos interpretar o gráfico da função quadrática e descobrir qual é o valor máximo que L pode atingir.

No caso de uma função quadrática (parábola), temos que seu ponto máximo ou mínimo é dado pelo vértice ("ponto mais alto ou mais baixo do gráfico"; nesse caso, como queremos o lucro máximo vamos encontrar o valor do "ponto mais alto"). O valor da coordenada y do vértice é dado pela fórmula:

$y=\frac{- D}{4a}$

Onde $D$ é o valor de "delta" (da fórmula de Bhaskara: Δ = $b^2-4ac$) e $a$ é o valor do coeficiente

Note que não vamos usar a fórmula para encontrar a coordenada $x$ do vértice da parábola, pois com ela encontraríamos o valor de x que resulta no valor máximo de y, ou seja, acharíamos o preço do produto (x) que resultaria no lucro máximo (y ou L) e não o lucro máximo em si, que é o que a questão pede.

No nosso caso, temos:

$L(x)=-x^2+120x-250$

Onde:

$a=-1 , b=120\ e \ c=-250$

Agora já temos o $a$, então vamos calcular Δ (delta):

Δ $=b^2-4ac$

Δ$=120^2-4*(-1)*(-250)$

Δ$=13400$

Com isso, usando a fórmula:

$y=\frac{- D}{4a}\\\\y=\frac{- 13400}{4*(-1)}\\\\y=3350$

Logo, temos que o lucro máximo que o produto pode gerar é de R$3350,00.

**Note que usei y ou y(x), mas é a mesma coisa que L(x) ou L, que é o lucro máximo (vértice da parábola) que procuramos. É como se apenas trocássemos as letras da equação:

$L(x)=-x^2+120x-250$    ⇔    $\ \ \ \ \ \ y(x) = -x^2+120x-250$

Veja o vértice (ponto mais alto) no gráfico abaixo referente ao L(x).

Anexei uma imagem extra que pode ajudar a enxergar o $x$ do vértice e o $y$ do vértice.

Valeu!