Question

Ao obtermos uma série convergente que não é absolutamente convergente, podemos dizer que a série é condicionalmente convergente.
Assim, ao analisar a série em ANEXO podemos afirmar que:
a)A série não é válida.
b) A série é Divergente.
c) A série é nula.
d) A série é Condicionalmente Convergente.
e) A série é Harmônica, porém Divergente.

Answer 1

Boa tarde Carossi!

Solução!

Definição!

A serie  $\displaystyle{\sum } a _{n}$ diz-se condicionalmente convergente se for convergente,mas ão absolutamente convergente.
Se a serie  $\displaystyle{\sum } a _{n}$ for condicionalmente convergente evidente que existem infinitos termos de $an$ estritamente positivos e infinitos termos negativos,fazendo sentido levar em conta as series $\displaystyle{\sum } a _{n}^{+}$ e $\displaystyle{\sum } a _{n}^{-}$   onde   $an^{+}=max\{an,0\}$  e  $an^{-}=max\{-an,0\}$ . Estas series são fundamentais para estudar o comportamento peculiar de series condicionalmente convergentes.

Teorema!

Suponha que a serie  $\displaystyle{\sum } an$ é condicionalmente convergente então $\displaystyle{\sum } a _{n}^{+}$ e 
$\displaystyle{\sum } a _{n}^{-}$ são divergentes.

Sendo a serie do exercício:

$\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } \frac{(-1)^{n} }{n} }$

Sendo

$n=1,2,3,...........$

$\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } \frac{(-1)^{n} }{n} }=-1+\frac{1}{2}- \frac{1}{3}+.......\\\\\\ Serie~~alternante~~converge$

Vamos fazer o modulo da serie baseado no teorema e analisar.

$\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} }\bigg| \frac{(-1)^{n} }{n}\bigg| } =\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } \frac{1}{n} \\\\\\\ Uma~~ serie~~hamonica$
$n=1,2,3,.........$


$\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } \frac{1}{n}=1 +\frac{1}{2}+ \frac{1}{3} ..........\\\\\\ Serie~~divergente$


Conclusão:  

Pelo critério de alternância quando a serie original converge e o modulo da serie original diverge,concluímos que a serie e condicionalmente convergente.

$\boxed{Resposta: Alternativa D}$

Boa tarde!
Bons estudos!

Answer 2

Boa tarde Carossi!

Solução!

Definição!

A serie diz-se condicionalmente convergente se for convergente,mas ão absolutamente convergente.

Se a serie for condicionalmente convergente evidente que existem infinitos termos de estritamente positivos e infinitos termos negativos,fazendo sentido levar em conta as series e onde e . Estas series são fundamentais para estudar o comportamento peculiar de series condicionalmente convergentes.

Teorema!

Suponha que a serie é condicionalmente convergente então e

são divergentes.

Sendo a serie do exercício:

Sendo

Vamos fazer o modulo da serie baseado no teorema e analisar.

Conclusão:

Pelo critério de alternância quando a serie original converge e o modulo da serie original diverge,concluímos que a serie e condicionalmente convergente.