Question

Ao girarmos a curva = cos () (Figura 1) em torno do eixo das abscissas obteremos um sólido de revolução (Figura 2). Determine o volume deste sólido de revolução, em 3, admitindo o intervalo 0 ≤ x ≤ $\frac{3pi}{2}$

Answer 1

$V = \pi \int\limits^\frac{3\pi}{2} _0 cos^2(x) \, dx \\V = \pi \int\limits^\frac{3\pi}{2} _0 \left [ \dfrac{1+cos(2x)}{2} \right] \, dx\\V = \dfrac{\pi}{2} \left [ \int\limits^\frac{3\pi}{2} _0 1 dx+ \int\limits^\frac{3\pi}{2} _0 cos(2x) \, dx \right]\\V = \dfrac{\pi}{2} \left [x \left |^\frac{3\pi}{2}_0 + \dfrac{sin(2x)}{2} \left |^\frac{3\pi}{2}_0 \right ] \\\\V = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi^2}{4}$