Question

Analise se a função $f \ : \ \mathbb{R} \ \rightarrow \ \mathbb{R}$ , $f(x) \ = \ \frac{e^x \ - \ e^-^x}{2}$ é bijetora e , em caso afirmativo , determine a função inversa $f^-^1$

Answer 1

A função z(x) = eˣ é restritamente crescente, então dado os valores a e b sendo a < b podemos ver que:
eᵃ < eᵇ → eᵃ - eᵇ < 0 ∀ a, b ∈ R

A função w(x) = e⁻ˣ é restritamente decrescente, então dado os valores a e b sendo a < b podemos ver que:
eᵃ > eᵇ → eᵃ - eᵇ > 0 ∀ a, b ∈ R

A função f(x) = (eˣ - e⁻ˣ)(¹/₂) é restritamente crescente pois z(x) e -w(x) são restritamente crescente então f(x) é injetora.

Im(f) = CD(f) = R então f(x) é sobrejetora.

Se f(x) é injetora e sobrejetora, então f(x) é bijetora.

A inversa f⁻¹ de f(x) é determinada por:
$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\to y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\\\ y=\frac{e^x-e^{-x}}{2},(x\leftrightarrow y)\\\\ x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\\\ 2x=e^y-e^{-y}\\\\ 2x=e^y-\frac{1}{e^y}\\\\ 2x=\frac{(e^y)^2-1}{e^y}\\\\ 2xe^y=(e^y)^2-1,(e^y\to k)\\\\ 2xk=k^2-1\\\\ k^2-2xk=1,(\text{complemento do quadrado)}\\\\ k^2-2xk+x^2=1+x^2\\\\ (k-x)^2=1+x^2\\\\ \sqrt{(k-x)^2}=\sqrt{1+x^2}\\\\ k-x=\sqrt{1+x^2}\\\\ k=\sqrt{1+x^2}+x,(k\to e^y)\\\\ e^y=\sqrt{1+x^2}+x\\\\ \ln(e^y)=\ln(\sqrt{1+x^2}+x)\\\\ \boxed{y=\ln(\sqrt{1+x^2} + x)}$