Question

análise os itens abaixo assinale a alternativa correta :

As alternativas !, llelll estão corretas.
As alternativas II, III e IV estão corretas.
Apenas a alternativa IV está correta.
As alternativas II e IV estão corretas.
Todas as alternativas estão corretas.
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Answer 1

$\maltese$ Conteúdo:

➡️ Estudo de séries.

➡️ Estudos de Convergência e Divergência de Séries.

➡️ Aplicação de Limites tendo ao infinito.

➡️ Teste de Razão, Teste de Comparação, Teste de Raiz em Séries.

Inicialmente temos a seguinte propriedade:

✈ Teste Da Razão:

$\large {\boxed {\sf \bf Se \lim_{n \to \infty} \biggm| \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \biggm| = L < 1, ent \tilde{a} o \: a \: s\acute {e} rie \sum_{n=1}^{\infty} a_n \: \acute{e} \:absolutamente \: convergente }}$

$\large {\boxed {\sf \bf Se \lim_{n \to \infty} \biggm| \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \biggm| = L > 1 \: ou \: \lim_{n \to \infty} \biggm| \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \biggm| = \infty , logo \: a \: s\acute {e} rie \sum_{n=1}^{\infty} a_n \: \acute{e} \: divergente }}$

$\large {\boxed {\sf \bf Se \lim_{n \to \infty} \biggm| \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \biggm| = L =1, o \: Teste \: da \: Raz \tilde{a} o \: \acute{e} \: inconclusivo. }}$

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❌ 1° Afirmação:

$\huge {\boxed {\gray {\sf a_n = \cfrac{100^n}{n!} }}}$

$\huge {\boxed {\blue {\sf a_{n+1} = \cfrac{100^{n+1}}{\left ( n +1 \right )! } }}}$

$\huge {\boxed {\purple {\sf \cfrac {a_{n+1}}{a_n} = \left\{ \cfrac{100^{n+1}}{\left (n+1 \right )! } \div \cfrac{100^n}{n!} \right\} = \cfrac{100^{n+1}}{\left ( n+1 \right )! } \cdot \cfrac{n!}{100^n} }}}$

$\huge {\boxed {\green {\sf \cfrac{\left (\not {100} \right )^n \cdot \left ( 100 \right ) ^1 }{\left ( n+1 \right ) \cdot \not {n!}} \cdot \cfrac{\not {n!}}{\not {100^n}} < \cfrac{100}{\left ( n+1 \right ) } }}}$

$\huge {\boxed {\blue {\sf \lim_{n \to \infty} \left ( \cfrac{100}{n+1} \right ) = 100 \cdot \cfrac{1}{\infty} = 0 < 1 }}}$

$\huge {\boxed { {\sf \bf \sum^{\infty}_{n=1} \cfrac{100^n}{n!} \: \acute {e} \: convergente }}}$

✔️ 2° Afirmação:

✈ Teste Da Raiz:

$\large {\boxed {\sf \bf Se \lim_{n \to \infty} \sqrt[\sf \bf n]{\mid \sf \bf a_n \mid } = L<1, ent \tilde {a} o \: a\: s \acute {e} rie \sum_{n=1}^{\infty} a_n \: \acute{e} \: absolutamente \: convergente. }}$

$\large {\boxed {\sf \bf Se \lim_{n \to \infty} \sqrt[\sf \bf n]{\mid \sf \bf a_n \mid } = L>1 \: ou \: \lim_{n \to \infty} \sqrt[ \sf \bf n]{\sf \bf \mid a_n \mid } = \infty, ent \tilde{a} o \: a \: s \acute{e} rie \sum_{n=1}^{\infty } a_n\: diverge }}$

$\large {\boxed {\sf \bf Se \lim_{n \to \infty} \sqrt[\sf \bf n]{\mid \sf \bf a_n \mid } = L=1, o \: Teste \: da \: Raiz \: \acute {e} \:inconclusivo }}$

$\huge {\boxed {\pink {\sf \lim_{n \to \infty} \sqrt[ \sf n]{\sf \biggm| \cfrac{2^n}{n^2} \biggm| } }}}$

$\huge {\boxed {\blue {\sf \left ( \cfrac{2^n}{n^2} \right )^{\frac{1}{n}} =\cfrac{2}{1} = 2 > 1 } }}$

$\huge {\boxed {\sf\ \bf \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{2^n}{n^2} \: \acute{e} \: divergente. }}$

✔️ 3° Afirmação:

✈ Teste Da Comparação:

☁ Suponha que ∑aₙ e ∑bₙ , seja séries com termos positivos. Se bₙ:

$\huge {\boxed {\sf \bf \lim_{n \to \infty} \cfrac{a_n}{b_n} = c }}$

$\square$ Onde c é um número finito e > 0, então ambas as séries convergem ou ambas divergem:

$\huge {\boxed {\gray {\sf a_n = \cfrac{4}{3^n+1} }}}$

☘ Observe que se n = 1:

$\huge {\boxed {\purple {\sf a_1 = \cfrac{4}{3^1+1} = \cfrac{4}{4} = 1 }}}$

Donde 1 > 0.

∴ aₙ > 0 ∀n > 1.  Por outro lado:

$\huge {\boxed {\pink {\sf b_n = \cfrac{4}{3^n} }}}$

Se n = 1:

$\huge {\boxed {\red {\sf b_1 = \cfrac{4}{3} > 0 }}}$

∴ bₙ > 0, ∀n > 1, Assim:

$\huge {\boxed {\sf \bf \lim_{n \to \infty} \cfrac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{4}{3^n+1} = \cfrac{4}{3^n} }}$

$\huge {\boxed {\sf \bf \lim_{n \to \infty} \cfrac{\not {4}}{3^n+1} \cdot\cfrac{3^n}{\not{4} } = \lim_{n \to \infty} \cfrac{3^n}{3^n+1} = 3^n }}$

$\huge {\boxed {\sf \bf \lim_{n \to \infty} \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac{3}{n} } } =1>0 }}$

☘ Observe que:

$\huge {\boxed {\purple {\sf \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{4}{3}\left ( \cfrac{1}{3} \right )^{n-1} }}}$

E neste caso, bₙ é uma série geométrica convergente com:

$\huge {\boxed {\sf \bf \mid n \mid = \biggm| \cfrac{1}{3} \biggm| < 1}}$

✔️ 4° Afirmação:

☃ Tendo das mesmas compreensões da 1° Questão, assenhoramos com certeza que:

$\huge {\boxed {\gray {\sf \sum_{n=1}^{\infty} 2^{2n} \cdot 3^{1-n} \: \acute{e} \: divergente \: e \: det \acute{e}m \: raz \tilde {a} o \: \cfrac{4}{3} \: e \: a = 4 }}}$

✍ Alternativa B.

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