Question

Analise e resolva a Integral:

Answer 1

• Resolvendo a integral dupla a partir do Teorema de Fubini, temos como resultado $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{3}{2}\end{gathered}$. Alternativa D).

Para resolver a sua integral dupla, vale ressaltar o Teorema de Fubini, dado da seguinte forma:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \int _a^b\int _c^d f(x,y) dydx \Longleftrightarrow \int ^d_c\int ^b_a f(x,y) dxdy\end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _0^1\int _{-1}^2 xy^2dydx= \int _0^1\left(\int _{-1}^2 xy^2dy\right)dx\end{gathered}$

E como estamos integrando em y, x pula da integral como se fosse uma constante.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _{-1}^2 xy^2dy = x\cdot \int _{-1}^2 y^2dy\end{gathered}$

Aplicamos então a seguinte propriedade de integração:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\tt \int x^ndx =\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq -1}\end{gathered} }$

Aplicando naquela integral, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _{-1}^2 xy^2dy = x\cdot \left.\left(\frac{y^3}{3}\right)\right|_{-1}^2 \end{gathered}$

Aplicamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _{-1}^2 xy^2dy = x\cdot \left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3} \right) \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _{-1}^2 xy^2dy = 3x \end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _0^1\int _{-1}^2 xy^2dydx=3\cdot \int _0^1xdx\end{gathered}$

Aplicando novamente aquela propriedade de integração, ficamos por fim:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int _0^1\int _{-1}^2 xy^2dydx= \left.\left(\frac{3x^2}{2} \right)\right|_0^1\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\tt \int _0^1\int _{-1}^2 xy^2dydx= \frac{3}{2} }}}\ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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