Question

Análise combinatória, alguém me mostra o raciocínio dessa questão por favor, nao consigo entender.
Uma pessoa tem seu filho 5 pontas de polpas, um para cada sabor das seguintes frutas: abacaxi, cajá, goiaba, Umbu e maracujá. De quantas maneiras, essa pessoa pode fazer um suco?

Expliquem passo a passo por favor.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

A pessoa de 5 polpas de frutas disponíveis para fazer o suco. Vamos supor Abacaxi (A), Banana (B), Cajá (C), Damasco (D), Embaúba (E).

O que a solução escrita no seu papel está fazendo é somando a quantidade de combinações de polpas pra cada quantidade possível, afinal a pessoa pode fazer o suco apenas com uma delas, ou misturar só alguns desses 5 tipos (ou até todos os 5).

Se a pessoa escolher fazer o suco com apenas 1 polpa (1 p):

Ela terá 5 opções, afinal tem 5 polpas disponíveis:

Suco só de A, só de B, só de C, só de D ou só de E.

Total: 5

Se a pessoa escolher fazer o suco com 2 polpas (2 p):

A pessoa pode misturar quaisquer duas polpas no copo, e a ordem em que a pessoa despeja a polpa no copo não faz diferença. Tanto faz colocar no copo Abacaxi primeiro e Banana depois ou Banana primeiro e Abacaxi depois, no fim vai ser a mesma mistura.

Então por isso usamos combinações (em vez de arranjos), que nesse caso será combinação de 5 polpas 2 a 2:

$C_{5,2} = \frac{5.4.3!}{(5-2)!2!} =\frac{5.4.3!}{3!2!} = \bold{10}$

Total: 10

As demais opções seguem o mesmo raciocínio.

Se a pessoa escolher fazer o suco com 3 polpas (3 p):

$C_{5,3} = \frac{5.4.3!}{(5-3)!3!} =\frac{5.4.3!}{2!3!} = \bold{10}$

Total: 10

Se a pessoa escolher fazer o suco com 4 polpas (4 p):

$C_{5,4} = \frac{5.4!}{(5-4)!4!} =\frac{5.4!}{1!4!} = \bold{5}$

Total: 5

Se a pessoa escolher fazer o suco com 5 polpas (5 p):

$C_{5,5} = \frac{5!}{(5-5)!5!} =\frac{5!}{5!} = \bold{1}$

Nesse último caso a opção é apenas uma, afinal é o caso em que ele colocou todas as 5 polpas juntas, e só tem 1 maneira de fazer isso.

Total: 1

No fim somamos todas as possibilidades de fazer o suco:

5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31